Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por e é normal a .
(b) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as equações geral, vetorial e paramétricas de um plano que passa pelo ponto e é normal ao vetor . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano pode ser escrita usando um ponto conhecido no plano e um vetor normal ao plano. A fórmula é:
Aqui, é o ponto dado e é o vetor normal.
Passo 3
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. O ponto dá , e . O vetor normal nos dá , e . Substituindo na equação:
Simplificando:
Então, a equação geral do plano é .
Passo 4
Agora, vamos para a equação vetorial do plano. A equação vetorial representa todos os pontos no plano como uma combinação linear de dois vetores diretores mais o ponto inicial. A fórmula é:
Onde é o ponto dado, e e são vetores diretores no plano.
Passo 5
Como o vetor normal é , os vetores diretores devem ser perpendiculares a . Podemos escolher, por exemplo, e , já que ambos são perpendiculares a .
Então, a equação vetorial fica:
Passo 6
Finalmente, vamos derivar as equações paramétricas a partir da equação vetorial. Isso significa expressar cada coordenada , e em função dos parâmetros e .