Beleza, vamos lá! A questão que a gente tem aqui é sobre determinar se o conjunto é uma base do espaço . A matéria envolvida aqui é a Álgebra Linear, mais especificamente os conceitos de base, independência linear e espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser base de um espaço vetorial, verificar se os vetores são linearmente independentes e se eles conseguem “preencher” todo o espaço .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores, e que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os vetores dados:
Observamos que todos os três vetores são iguais. Isso já nos dá uma pista importante sobre a independência linear.
Passo 4
Para verificar a independência linear, colocamos os vetores como colunas em uma matriz e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 5
Calculando o determinante de det(A) = 1 times 0 & 0 -1 & -1 - 1 times 0 & 0 -1 & -1 + 1 times 0 & 0 -1 & -1 :
det(A) = 1 times 0 - 1 times 0 + 1 times 0 = 0
Cada um desses menores determina o valor zero, então:
Passo 6
Como o determinante é zero, concluímos que os vetores são linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, o que viola uma das condições para que seja uma base de .
Resposta
Então, afinal, o conjunto não é uma base de porque os vetores são linearmente dependentes.