Sejam v1=(1,0,-1), v2=(1,0,-1) e v3=(1,0,-1).
a) Mostrar que B=v1, v2, v3 é uma base do R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que a gente tem aqui é sobre determinar se o conjunto é uma base do espaço . A matéria envolvida aqui é a Álgebra Linear, mais especificamente os conceitos de base, independência linear e espaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser base de um espaço vetorial, verificar se os vetores são linearmente independentes e se eles conseguem “preencher” todo o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base de um espaço vetorial. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores, e que nenhum deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os vetores dados:
v1 = (1, 0, -1), v2 = (1, 0, -1), v3 = (1, 0, -1)
Observamos que todos os três vetores são iguais. Isso já nos dá uma pista importante sobre a independência linear.

Passo 4

Para verificar a independência linear, colocamos os vetores como colunas em uma matriz e calculamos o determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
A = 1 & 1 & 1 0 & 0 & 0 -1 & -1 & -1
Vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 5

Calculando o determinante de det(A) = 1 times 0 & 0 -1 & -1 - 1 times 0 & 0 -1 & -1 + 1 times 0 & 0 -1 & -1 :
det(A) = 1 times 0 - 1 times 0 + 1 times 0 = 0
Cada um desses menores determina o valor zero, então:

Passo 6

Como o determinante é zero, concluímos que os vetores são linearmente dependentes. Isso significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros, o que viola uma das condições para que seja uma base de .

Resposta

Então, afinal, o conjunto não é uma base de porque os vetores são linearmente dependentes.

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Para cada um dos itens abaixo determinar:
lang<= u, vrang<=
V=M2 times 2(R), com produto interno lang<= A, Brang<==tr(A^t B), A=(lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1) e B=(lll1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2).
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|u|,|v|
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