Para cada um dos itens abaixo determinar:
|u|,|v|
V=M2 times 2(R), com produto interno lang<= A, Brang<==tr(A^t B), A=(lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1) e B=(lll1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as normas de duas matrizes, e , dentro do espaço vetorial com o produto interno definido por . A gente vai precisar entender como calcular a norma de uma matriz usando esse produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a norma é definida em termos do produto interno. A norma de uma matriz |A| = raizlang<= A, A rang<= é dada por:
Isso significa que precisamos calcular o produto interno de consigo mesma e depois tirar a raiz quadrada desse valor.

Passo 3

Vamos calcular lang<= A, A rang<= = tr(A^t A) . Pelo produto interno dado:
A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1
Isso significa que primeiro vamos transpor a matriz A^t = 1 & 4 & 1 2 & 5 & 1 3 & 6 & 1 , multiplicar pela matriz A^t A = 1cdot1 + 4cdot4 + 1cdot1 & 1cdot2 + 4cdot5 + 1cdot1 & 1cdot3 + 4cdot6 + 1cdot1 2cdot1 + 5cdot4 + 1cdot1 & 2cdot2 + 5cdot5 + 1cdot1 & 2cdot3 + 5cdot6 + 1cdot1 3cdot1 + 6cdot4 + 1cdot1 & 3cdot2 + 6cdot5 + 1cdot1 & 3cdot3 + 6cdot6 + 1cdot1 e depois somar os elementos da diagonal principal dessa nova matriz (isso é o traço, ou A^t A = 1 + 16 + 1 & 2 + 20 + 1 & 3 + 24 + 1 2 + 20 + 1 & 4 + 25 + 1 & 6 + 30 + 1 3 + 24 + 1 & 6 + 30 + 1 & 9 + 36 + 1 = 18 & 23 & 28 23 & 30 & 37 28 & 37 & 46 ).
Vamos fazer isso para a matriz tr(A^t A) = 18 + 30 + 46 = 94 :
|A| = raiz94 approx 9.70
Calculando :
Multiplicando por :
Calculando cada elemento:
Agora, o traço de é a soma dos elementos da diagonal principal:
Então,

Passo 4

Vamos repetir o mesmo processo para a matriz B = 1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2 :
B^t = 1 & 0 & 2 2 & 0 & 2 1 & 1 & 2
Calculando B^t B = 1cdot1 + 0cdot0 + 2cdot2 & 1cdot2 + 0cdot0 + 2cdot2 & 1cdot1 + 0cdot1 + 2cdot2 2cdot1 + 0cdot0 + 2cdot2 & 2cdot2 + 0cdot0 + 2cdot2 & 2cdot1 + 0cdot1 + 2cdot2 1cdot1 + 1cdot0 + 2cdot2 & 1cdot2 + 1cdot0 + 2cdot2 & 1cdot1 + 1cdot1 + 2cdot2 :
B^t B = 1 + 0 + 4 & 2 + 0 + 4 & 1 + 0 + 4 2 + 0 + 4 & 4 + 0 + 4 & 2 + 0 + 4 1 + 0 + 4 & 2 + 0 + 4 & 1 + 1 + 4 = 5 & 6 & 5 6 & 8 & 6 5 & 6 & 6
Multiplicando tr(B^t B) = 5 + 8 + 6 = 19 por |B| = raiz19 approx 4.36 :
Calculando cada elemento:
Agora, o traço de :
Então,

Resposta

A norma de é aproximadamente e a norma de é aproximadamente .

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a) Mostrar que B=v1, v2, v3 é uma base do R^3
Para cada um dos itens abaixo determinar:
lang<= u, vrang<=
V=M2 times 2(R), com produto interno lang<= A, Brang<==tr(A^t B), A=(lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1) e B=(lll1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2).
Em cada item, determine a equação da hipérbole que satisfaz às condições dadas e esboce-a no plano cartesiano, juntamente com suas assíntotas.
Centro na origem, eixo principal vertical e passa pelos pontos A=(4,6) e B=(1,-3).
Para cada um dos itens abaixo determinar:
o ângulo entre u e v.
V=M2 times 2(R), com produto interno lang<= A, Brang<==tr(A^t B), A=(lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1) e B=(lll1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2).