Para cada um dos itens abaixo determinar: , com produto interno e B=(lll1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as normas de duas matrizes, e , dentro do espaço vetorial com o produto interno definido por . A gente vai precisar entender como calcular a norma de uma matriz usando esse produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a norma é definida em termos do produto interno. A norma de uma matriz |A| = raizlang<= A, A rang<= é dada por:
Isso significa que precisamos calcular o produto interno de consigo mesma e depois tirar a raiz quadrada desse valor.
Passo 3
Vamos calcular lang<= A, A rang<= = tr(A^t A) . Pelo produto interno dado:
A = 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1
Isso significa que primeiro vamos transpor a matriz A^t = 1 & 4 & 1 2 & 5 & 1 3 & 6 & 1 , multiplicar pela matriz A^t A = 1cdot1 + 4cdot4 + 1cdot1 & 1cdot2 + 4cdot5 + 1cdot1 & 1cdot3 + 4cdot6 + 1cdot1 2cdot1 + 5cdot4 + 1cdot1 & 2cdot2 + 5cdot5 + 1cdot1 & 2cdot3 + 5cdot6 + 1cdot1 3cdot1 + 6cdot4 + 1cdot1 & 3cdot2 + 6cdot5 + 1cdot1 & 3cdot3 + 6cdot6 + 1cdot1 e depois somar os elementos da diagonal principal dessa nova matriz (isso é o traço, ou A^t A = 1 + 16 + 1 & 2 + 20 + 1 & 3 + 24 + 1 2 + 20 + 1 & 4 + 25 + 1 & 6 + 30 + 1 3 + 24 + 1 & 6 + 30 + 1 & 9 + 36 + 1 = 18 & 23 & 28 23 & 30 & 37 28 & 37 & 46 ).
Vamos fazer isso para a matriz tr(A^t A) = 18 + 30 + 46 = 94 :
|A| = raiz94 approx 9.70
Calculando :
Multiplicando por :
Calculando cada elemento:
Agora, o traço de é a soma dos elementos da diagonal principal:
Então,
Passo 4
Vamos repetir o mesmo processo para a matriz B = 1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2 :