Em cada item, determine a equação da hipérbole que satisfaz às condições dadas e esboce-a no plano cartesiano, juntamente com suas assíntotas.
Vértices
e
.
Vértices
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação da hipérbole com vértices em
e
.
Conteúdo da matéria: Hipérboles no plano cartesiano.
O que vamos precisar: Conhecer a forma geral da equação de uma hipérbole, entender o significado dos vértices e do parâmetro
, e saber como determinar as assíntotas da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole com eixo principal horizontal (ou seja, que abre para a direita e para a esquerda) é dada por:
Onde:
-
é o centro da hipérbole. -
é a distância do centro a cada vértice. -
está relacionado à distância das assíntotas.
Passo 3
No nosso caso, os vértices são
.
Isso significa que o centro da hipérbole
está na origem, ou seja,
.
A distância
do centro até os vértices é 2, pois os vértices estão a 2 unidades do centro ao longo do eixo
.
Passo 4
Sabemos que
.
Agora, substituímos os valores de
,
,
e
na equação padrão da hipérbole:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são retas que a hipérbole se aproxima à medida que
e
tendem ao infinito.
Para uma hipérbole com eixo horizontal, as equações das assíntotas são dadas por:
Substituindo
e
:
Passo 6
Por fim, vamos esboçar a hipérbole no plano cartesiano:
- Plotamos o centro na origem
. - Marcamos os vértices em
e . - Desenhamos as assíntotas
e . - Esboçamos a hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
A equação da hipérbole é:
E suas assíntotas são as retas:
Exercícios relacionados
Determinar o centro dos seguintes elipsoides:
a.
a.
Mostre que
com as operações usuais de soma e produto por escalar é um espaço vetorial sobre
.
Determinar o centro dos seguintes elipsoides:
b.
b.
Obtenha as tangentes à hipérbole
que são paralelas à reta
.