Em cada item, determine a equação da hipérbole que satisfaz às condições dadas e esboce-a no plano cartesiano, juntamente com suas assíntotas.
Vértices ( pm 2,0) e b=3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação da hipérbole com vértices em (pm 2, 0) e b = 3.
Conteúdo da matéria: Hipérboles no plano cartesiano.
O que vamos precisar: Conhecer a forma geral da equação de uma hipérbole, entender o significado dos vértices e do parâmetro b, e saber como determinar as assíntotas da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole com eixo principal horizontal (ou seja, que abre para a direita e para a esquerda) é dada por:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Onde:
  • (h, k) é o centro da hipérbole.
  • a é a distância do centro a cada vértice.
  • b está relacionado à distância das assíntotas.

Passo 3

No nosso caso, os vértices são (pm 2, 0).
Isso significa que o centro da hipérbole (h, k) está na origem, ou seja, (0, 0).
A distância a do centro até os vértices é 2, pois os vértices estão a 2 unidades do centro ao longo do eixo x.

Passo 4

Sabemos que b = 3.
Agora, substituímos os valores de h, k, a e b na equação padrão da hipérbole:
(x - 0)^22^2 - (y - 0)^23^2 = 1
Simplificando:
x^24 - y^29 = 1

Passo 5

Agora, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são retas que a hipérbole se aproxima à medida que x e y tendem ao infinito.
Para uma hipérbole com eixo horizontal, as equações das assíntotas são dadas por:
y = pm ba x
Substituindo a = 2 e b = 3:
y = pm 32 x

Passo 6

Por fim, vamos esboçar a hipérbole no plano cartesiano:
  1. Plotamos o centro na origem (0,0).
  2. Marcamos os vértices em (2,0) e (-2,0).
  3. Desenhamos as assíntotas y = 32x e y = -32x.
  4. Esboçamos a hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

A equação da hipérbole é:
x^24 - y^29 = 1
E suas assíntotas são as retas:
y = 32x e y = -32x

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