Mostre que
com as operações usuais de soma e produto por escalar é um espaço vetorial sobre
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para mostrar que o conjunto
com as operações normais de soma e produto por escalar é um espaço vetorial sobre
.
Vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um. Basicamente, a gente vai conferir se
é fechado sob soma e multiplicação por escalar, e se satisfaz as outras regras de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Esse conjunto é formado por todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. Isso é tipo uma restrição que relaciona os componentes do vetor.
Passo 3
Para mostrar que
é um espaço vetorial, precisamos verificar algumas propriedades básicas:
- Fechamento sob adição: Se você pegar dois vetores em
e somar, o resultado também deve estar em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você multiplica um vetor de
por um número real (escalar), o resultado também deve estar em . - Existência do vetor zero: O vetor
deve estar em . - Existência de inversos aditivos: Para cada vetor em
, deve existir outro vetor em que é o seu inverso aditivo.
Vamos verificar cada uma dessas.
Passo 4
1. Fechamento sob adição:
Pegue dois vetores quaisquer em
, digamos
e
. Sabemos que:
Agora, somamos
e
:
Vamos verificar se
satisfaz a equação da
:
Então,
. Ou seja, a soma de dois vetores em
também está em
.
Passo 5
2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor
e um escalar
. Queremos ver se
está em
:
Agora, verificamos a equação:
Então,
também satisfaz a equação de
, ou seja,
.
Passo 6
3. Existência do vetor zero:
O vetor zero em
é
. Vamos verificar se ele pertence a
:
Então, o vetor zero está em
.
Passo 7
4. Existência de inversos aditivos:
Para cada vetor
, queremos encontrar um vetor
que também está em
.
Vamos verificar:
Assim,
.
Resposta
Portanto,
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial sobre
. Logo,
é um espaço vetorial.
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