Mostre que V=(x1 x2, x3) / x1-4 x2-5 x3=0 in R^3 com as operações usuais de soma e produto por escalar é um espaço vetorial sobre R.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para mostrar que o conjunto com as operações normais de soma e produto por escalar é um espaço vetorial sobre .
Vamos precisar entender o que é um espaço vetorial e verificar se satisfaz todas as propriedades necessárias para ser considerado um. Basicamente, a gente vai conferir se é fechado sob soma e multiplicação por escalar, e se satisfaz as outras regras de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Esse conjunto é formado por todos os vetores em que satisfazem a equação . Isso é tipo uma restrição que relaciona os componentes do vetor.

Passo 3

Para mostrar que é um espaço vetorial, precisamos verificar algumas propriedades básicas:
  1. Fechamento sob adição: Se você pegar dois vetores em e somar, o resultado também deve estar em .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se você multiplica um vetor de por um número real (escalar), o resultado também deve estar em .
  3. Existência do vetor zero: O vetor deve estar em .
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor em , deve existir outro vetor em que é o seu inverso aditivo.
Vamos verificar cada uma dessas.

Passo 4

1. Fechamento sob adição:
Pegue dois vetores quaisquer em u1 - 4u2 - 5u3 = 0 , digamos v1 - 4v2 - 5v3 = 0 e u + v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) . Sabemos que:
(u1 + v1) - 4(u2 + v2) - 5(u3 + v3) = (u1 - 4u2 - 5u3) + (v1 - 4v2 - 5v3)) = 0 + 0 = 0
Agora, somamos e :
Vamos verificar se satisfaz a equação da :
Então, . Ou seja, a soma de dois vetores em também está em .

Passo 5

2. Fechamento sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor c cdot u = (c u1, c u2, c u3) e um escalar c u1 - 4(c u2) - 5(c u3) = c(u1 - 4u2 - 5u3) = c cdot 0 = 0 . Queremos ver se está em :
Agora, verificamos a equação:
Então, também satisfaz a equação de , ou seja, .

Passo 6

3. Existência do vetor zero:
O vetor zero em 0 - 4 cdot 0 - 5 cdot 0 = 0 é . Vamos verificar se ele pertence a :
Então, o vetor zero está em .

Passo 7

4. Existência de inversos aditivos:
Para cada vetor (-u1) - 4(-u2) - 5(-u3) = -u1 + 4u2 + 5u3 = - (u1 - 4u2 - 5u3) = -0 = 0 , queremos encontrar um vetor que também está em .
Vamos verificar:
Assim, .

Resposta

Portanto, satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial sobre . Logo, é um espaço vetorial.

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