Determinar o centro dos seguintes elipsoides:
b. 3 x^2+4 y^2+5 z^2+6 x+16 y-10 z-1=0
C=(-1,-2,1)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está pedindo. Temos a equação de um elipsoide:
3x^2 + 4y^2 + 5z^2 + 6x + 16y - 10z - 1 = 0
O objetivo é encontrar o centro desse elipsoide. Para isso, vamos usar a técnica de completar o quadrado para reorganizar a equação na forma padrão do elipsoide.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de cada variável:
3x^2 + 6x + 4y^2 + 16y + 5z^2 - 10z - 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para cada uma das variáveis 3(x^2 + 2x) + 4(y^2 + 4y) + 5(z^2 - 2z) - 1 = 0 , e . Para facilitar, vamos fatorar os coeficientes das variáveis quadráticas:

Passo 4

Vamos completar o quadrado dentro de cada parêntese:
Para x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1 :
y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4
Para z^2 - 2z = (z - 1)^2 - 1 :
Para :

Passo 5

Substituímos essas expressões de volta na equação:
3[(x + 1)^2 - 1] + 4[(y + 2)^2 - 4] + 5[(z - 1)^2 - 1] - 1 = 0

Passo 6

Agora, vamos expandir e simplificar os termos:
3(x + 1)^2 - 3 + 4(y + 2)^2 - 16 + 5(z - 1)^2 - 5 - 1 = 0
Somando os termos constantes:
3(x + 1)^2 + 4(y + 2)^2 + 5(z - 1)^2 - 25 = 0

Passo 7

Isolamos os termos com quadrados no lado esquerdo:
3(x + 1)^2 + 4(y + 2)^2 + 5(z - 1)^2 = 25

Passo 8

Para chegar na forma padrão, dividimos ambos os lados por 25:
(x + 1)^2253 + (y + 2)^2254 + (z - 1)^25 = 1

Passo 9

Comparando com a forma padrão de um elipsoide:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 + (z - l)^2c^2 = 1
Podemos identificar o centro C = (-1, -2, 1) :

Resposta

O centro do elipsoide é .

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C=(1,-2,0)
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