Obtenha as tangentes à hipérbole lambda: x^2-y^2=1 que são paralelas à reta r: y=2 x.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o problema de encontrar as tangentes à hipérbole lambda: x^2 - y^2 = 1 que são paralelas à reta r: y = 2x. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com equações de hipérboles e retas tangentes. Vamos precisar usar a fórmula da reta tangente a uma hipérbole e entender o que significa duas retas serem paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se determina a equação da reta tangente a uma hipérbole. Para a hipérbole lambda: x^2 - y^2 = 1, a equação geral da tangente com inclinação m é dada por:
y = m x pm raizm^2 cdot a^2 + b^2
No caso da nossa hipérbole, ela está na forma padrão x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1, onde a = 1 e b = 1.

Passo 3

A reta r: y = 2x tem inclinação m = 2. Como queremos que as tangentes sejam paralelas a essa reta, elas também terão a mesma inclinação m = 2. Vamos usar esse valor de m na equação da reta tangente que mencionamos.

Passo 4

Substituindo m = 2, a = 1 e b = 1 na equação da reta tangente, temos:
y = 2x pm raiz(2)^2 cdot 1^2 + 1^2
Simplificando dentro da raiz:
y = 2x pm raiz4 + 1
y = 2x pm raiz5

Resposta

As tangentes à hipérbole x^2 - y^2 = 1 que são paralelas à reta y = 2x são:
y = 2x + raiz5
y = 2x - raiz5

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