Em cada item, determine equações paramétricas para a reta que satisfaz às condições dadas.
Passa pelo ponto (-1,-3,7) e é paralela à reta 1-x3=y+3=7-z4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto (-1, -3, 7) e que é paralela à reta dada pela equação 1-x3 = y+3 = 7-z4. Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica no espaço tridimensional. Vamos precisar entender como encontrar a direção de uma reta e como usar um ponto para definir suas equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta à qual a nossa reta deve ser paralela. A equação dada é 1-x3 = y+3 = 7-z4. Essa forma nos permite extrair os coeficientes que definem a direção da reta. Os denominadores 3 e 4 são os componentes do vetor diretor da reta.
Então, o vetor diretor d da reta dada é (3, 1, 4). Isso porque a equação paramétrica geral de uma reta é dada por:
x - x0a = y - y0b = z - z0c
onde (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor da reta paralela, podemos usar esse mesmo vetor para a nossa reta desejada, já que elas são paralelas. O próximo passo é usar o ponto pelo qual a reta passa, que é (-1, -3, 7), junto com o vetor diretor para montar as equações paramétricas.
As equações paramétricas de uma reta são dadas por:
x = x0 + a t
y = y0 + b t
z = z0 + c t
onde (x0, y0, z0) é um ponto da reta e (a, b, c) é o vetor diretor, e t é o parâmetro.

Passo 4

Substituindo os valores que temos:
  • Ponto (x0, y0, z0) = (-1, -3, 7)
  • Vetor diretor (a, b, c) = (3, 1, 4)
As equações paramétricas ficam:
x = -1 + 3t
y = -3 + t
z = 7 + 4t

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = -1 + 3t
y = -3 + t
z = 7 + 4t

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