Calcule o ângulo entre os planos .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o ângulo entre dois planos, dados pelas equações e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre o ângulo entre planos. Vamos precisar dos vetores normais de cada plano e da fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Cada plano na forma geral tem um vetor normal . Então, para os dois planos dados:
Para o primeiro plano , o vetor normal é .
Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 3

O ângulo entre os dois planos é o mesmo ângulo entre seus vetores normais. Para encontrar esse ângulo, podemos usar a fórmula do produto escalar:
Onde é o produto escalar, e é a norma (ou módulo) do vetor.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, calculamos as normas dos vetores:

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do produto escalar:
Simplificando:

Passo 7

Agora, encontramos o ângulo usando a função cosseno inverso:
Calculando o valor numérico:
Usando uma calculadora, temos:

Resposta

O ângulo entre os dois planos é aproximadamente .

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