Calcule o ângulo entre os planos 4 x+5 y-2 z=7 e-x+3 y+4 z=2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o ângulo entre dois planos, dados pelas equações e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre o ângulo entre planos. Vamos precisar dos vetores normais de cada plano e da fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Cada plano na forma geral tem um vetor normal . Então, para os dois planos dados:
Para o primeiro plano , o vetor normal é .
Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 3

O ângulo n1 cdot n2 = |n1| cdot |n2| cdot cos(theta) entre os dois planos é o mesmo ângulo entre seus vetores normais. Para encontrar esse ângulo, podemos usar a fórmula do produto escalar:
Onde é o produto escalar, e é a norma (ou módulo) do vetor.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2 = (4)(-1) + (5)(3) + (-2)(4) = -4 + 15 - 8 = 3 :

Passo 5

Agora, calculamos as normas dos vetores:
|n1| = raiz4^2 + 5^2 + (-2)^2 = raiz16 + 25 + 4 = raiz45 = 3raiz5
|n2| = raiz(-1)^2 + 3^2 + 4^2 = raiz1 + 9 + 16 = raiz26

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do produto escalar:
3 = (3raiz5) cdot (raiz26) cdot cos(theta)
Simplificando:
cos(theta) = 33raiz5 cdot raiz26 = 1raiz5 cdot 26 = 1raiz130 = raiz130130

Passo 7

Agora, encontramos o ângulo theta = cos^-1(raiz130130) usando a função cosseno inverso:
theta approx cos^-1(0,087) approx 85^circ
Calculando o valor numérico:
Usando uma calculadora, temos:

Resposta

O ângulo entre os dois planos é aproximadamente .

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