Calcule o ângulo entre os planos
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Precisamos calcular o ângulo entre dois planos, dados pelas equações
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre o ângulo entre planos. Vamos precisar dos vetores normais de cada plano e da fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores.
Passo 2
Cada plano na forma geral
tem um vetor normal
. Então, para os dois planos dados:
Para o primeiro plano
, o vetor normal é
.
Para o segundo plano
, o vetor normal é
.
Passo 3
O ângulo
entre os dois planos é o mesmo ângulo entre seus vetores normais. Para encontrar esse ângulo, podemos usar a fórmula do produto escalar:
Onde
é o produto escalar, e
é a norma (ou módulo) do vetor.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula do produto escalar:
Simplificando:
Passo 7
Agora, encontramos o ângulo
usando a função cosseno inverso:
Calculando o valor numérico:
Usando uma calculadora, temos:
Resposta
O ângulo entre os dois planos é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Em cada item, determine equações paramétricas para a reta que satisfaz às condições dadas.
Passa pelo ponto e é paralela à reta
.
Passa pelo ponto
Obtenha uma equação reduzida e esboce o gráfico para cada um dos casos a seguir:
Hipérbole com focos em e
e o eixo real medindo 6 .
Hipérbole com focos em
Obtenha uma equação reduzida e esboce o gráfico para cada um dos casos a seguir:
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos , centro em
, excentricidade
e eixo menor medindo 6 .
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos
Considere o ponto
e a reta
.
Determine a projeção ortogonal do ponto sobre a reta
.
Determine a projeção ortogonal do ponto