Obtenha uma equação reduzida e esboce o gráfico para cada um dos casos a seguir:
Hipérbole com focos em (3,4) e (3,-4) e o eixo real medindo 6 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma hipérbole que tem os focos em e e o eixo real medindo 6 unidades. Para isso, vamos lembrar que uma hipérbole é uma curva que tem dois focos e dois eixos: o real (transversal) e o imaginário (conjugado). Vamos precisar das coordenadas dos focos, do comprimento do eixo real e entender como usar essas informações para montar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Como os focos são Centro (h, k) = ( 3+32, 4 + (-4)2 ) = (3, 0) e , vamos calcular a média das coordenadas:
Então, o centro da hipérbole é .

Passo 3

Agora, vamos determinar a orientação da hipérbole. Observando os focos e , vemos que ambos têm a mesma coordenada , mas coordenadas diferentes. Isso significa que a hipérbole abre para cima e para baixo, ou seja, é uma hipérbole vertical.

Passo 4

Vamos lembrar a forma geral da equação de uma hipérbole vertical:
(y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1
Onde:
  • c^2 = a^2 + b^2 é o centro da hipérbole.
  • é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo real.
  • está relacionado à distância ao longo do eixo imaginário.
  • é a distância do centro aos focos.
A relação entre , e é dada por:

Passo 5

Sabemos que o eixo real mede 6 unidades, o que significa que a = 62 = 3 , então:
c = raiz(3-3)^2 + (4-0)^2 = raiz0 + 16 = 4
Também, os focos estão a uma distância do centro. Vamos calcular usando as coordenadas dos focos:
A distância entre o centro e um dos focos, por exemplo , é:

Passo 6

Agora, vamos usar a relação c^2 = a^2 + b^2 4^2 = 3^2 + b^2 16 = 9 + b^2 b^2 = 16 - 9 b^2 = 7 b = raiz7 para encontrar :

Passo 7

Com todas as informações, podemos montar a equação reduzida da hipérbole. Sabemos que o centro é (y - 0)^23^2 - (x - 3)^27 = 1 , y^29 - (x - 3)^27 = 1 , e . Então, substituindo na fórmula da hipérbole vertical:
Simplificando:

Passo 8

Por fim, para esboçar o gráfico da hipérbole, seguimos esses passos:
  1. Marque o centro no plano.
  2. Marque os vértices a uma distância do centro ao longo do eixo real. Então, os vértices estão em e .
  3. Desenhe a caixa retangular usando e para ajudar a guiar as assíntotas.
  4. Desenhe as assíntotas que passam pelo centro e têm inclinação .
  5. Desenhe os ramos da hipérbole que se aproximam das assíntotas.

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
y^29 - (x - 3)^27 = 1
E o gráfico é uma hipérbole vertical com centro em , vértices em e , e assíntotas com inclinação .

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