Obtenha uma equação reduzida e esboce o gráfico para cada um dos casos a seguir:
Hipérbole com focos em
e
e o eixo real medindo 6 .
Hipérbole com focos em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre hipérbole juntos! A gente precisa encontrar a equação reduzida de uma hipérbole que tem os focos em
e
e o eixo real medindo 6 unidades. Para isso, vamos lembrar que uma hipérbole é uma curva que tem dois focos e dois eixos: o real (transversal) e o imaginário (conjugado). Vamos precisar das coordenadas dos focos, do comprimento do eixo real e entender como usar essas informações para montar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro está no ponto médio entre os dois focos. Como os focos são
e
, vamos calcular a média das coordenadas:
Então, o centro da hipérbole é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a orientação da hipérbole. Observando os focos
e
, vemos que ambos têm a mesma coordenada
, mas coordenadas
diferentes. Isso significa que a hipérbole abre para cima e para baixo, ou seja, é uma hipérbole vertical.
Passo 4
Vamos lembrar a forma geral da equação de uma hipérbole vertical:
Onde:
-
é o centro da hipérbole. -
é a distância do centro aos vértices ao longo do eixo real. -
está relacionado à distância ao longo do eixo imaginário. -
é a distância do centro aos focos.
A relação entre
,
e
é dada por:
Passo 5
Sabemos que o eixo real mede 6 unidades, o que significa que
, então:
Também, os focos estão a uma distância
do centro. Vamos calcular
usando as coordenadas dos focos:
A distância entre o centro
e um dos focos, por exemplo
, é:
Passo 6
Agora, vamos usar a relação
para encontrar
:
Passo 7
Com todas as informações, podemos montar a equação reduzida da hipérbole. Sabemos que o centro é
,
, e
. Então, substituindo na fórmula da hipérbole vertical:
Simplificando:
Passo 8
Por fim, para esboçar o gráfico da hipérbole, seguimos esses passos:
- Marque o centro
no plano. - Marque os vértices a uma distância
do centro ao longo do eixo real. Então, os vértices estão em e . - Desenhe a caixa retangular usando
e para ajudar a guiar as assíntotas. - Desenhe as assíntotas que passam pelo centro e têm inclinação
. - Desenhe os ramos da hipérbole que se aproximam das assíntotas.
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é:
E o gráfico é uma hipérbole vertical com centro em
, vértices em
e
, e assíntotas com inclinação
.
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e
.
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Passa pelo ponto e é paralela à reta
.
Passa pelo ponto
Calcule o ângulo entre os planos
.