Calcule o ângulo entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o ângulo entre dois planos. A gente vai usar conceitos de vetores e trigonometria. Primeiro, precisamos identificar os vetores normais dos planos e depois calcular o ângulo entre eles usando a fórmula do produto escalar.

Passo 2

Cada plano pode ser representado pela equação geral . Os coeficientes , e formam o vetor normal ao plano. Então, para o primeiro plano , o vetor normal é . Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora vamos calcular o produto escalar entre e . O produto escalar é dado por:

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) de cada vetor normal. O módulo de um vetor é:
Para :
Para :

Passo 5

Agora usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Para encontrar o ângulo , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os planos e é aproximadamente .

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