Calcule o ângulo entre os planos 2 x-3 y+z=5 e 4 x+y-2 z=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o ângulo entre dois planos. A gente vai usar conceitos de vetores e trigonometria. Primeiro, precisamos identificar os vetores normais dos planos e depois calcular o ângulo entre eles usando a fórmula do produto escalar.

Passo 2

Cada plano pode ser representado pela equação geral . Os coeficientes , e formam o vetor normal ao plano. Então, para o primeiro plano , o vetor normal é . Para o segundo plano , o vetor normal é .

Passo 3

Agora vamos calcular o produto escalar entre n1 cdot n2 = (2)(4) + (-3)(1) + (1)(-2) = 8 - 3 - 2 = 3 e . O produto escalar é dado por:

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o módulo (ou comprimento) de cada vetor normal. O módulo de um vetor |n| = raizA^2 + B^2 + C^2 é:
|n1| = raiz2^2 + (-3)^2 + 1^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14
Para |n2| = raiz4^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz16 + 1 + 4 = raiz21 :
Para :

Passo 5

Agora usamos a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
costheta = n1 cdot n2|n1| |n2|
Substituindo os valores que encontramos:
costheta = 3raiz14 cdot raiz21 = 3raiz294 approx 317.1464 approx 0.175

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta = arccos(0.175) approx 80.1^circ , usamos a função arco cosseno:

Resposta

O ângulo entre os planos e é aproximadamente .

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