Obtenha uma equação reduzida e esboce o gráfico para cada um dos casos a seguir:
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos , centro em , excentricidade e eixo menor medindo 6 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de elipse juntos! A gente precisa achar a equação reduzida de uma elipse que tem o eixo maior paralelo ao eixo dos , está centrada no ponto , tem excentricidade igual a e o eixo menor medindo 6 unidades. Para isso, vamos usar as fórmulas básicas das elipses e entender um pouquinho sobre os seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que já temos:
  • Centro da elipse:
  • Eixo maior paralelo ao eixo dos , o que significa que o eixo maior está na vertical.
  • Comprimento do eixo menor: 6 unidades. Isso nos dá o valor de , então .
  • Excentricidade ( ) =

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para uma elipse, a excentricidade é dada por:
Onde:
  • é a distância do centro até cada foco.
  • é a distância do centro até cada vértice no eixo maior.
Temos que , então:
Isso implica que:

Passo 4

Também sabemos que em uma elipse, a relação entre , e é:
Substituindo nessa equação:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar . Vamos isolar :
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por -3:

Passo 6

Sabemos que , então:
Logo,

Passo 7

Agora que temos e , podemos escrever a equação reduzida da elipse. Como o eixo maior é paralelo ao eixo dos , a equação padrão é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 8

Por fim, para esboçar o gráfico da elipse:
  • O centro está em .
  • O eixo maior tem comprimento e está na vertical.
  • O eixo menor tem comprimento 6 unidades e está na horizontal.
  • Os vértices na vertical estarão a unidades acima e abaixo do centro: e .
  • Os vértices na horizontal estarão a unidades à direita e à esquerda do centro: e .

Resposta

A equação reduzida da elipse é:

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