Obtenha uma equação reduzida e esboce o gráfico para cada um dos casos a seguir:
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos y, centro em (4,-2), excentricidade 12 e eixo menor medindo 6 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de elipse juntos! A gente precisa achar a equação reduzida de uma elipse que tem o eixo maior paralelo ao eixo dos , está centrada no ponto , tem excentricidade igual a e o eixo menor medindo 6 unidades. Para isso, vamos usar as fórmulas básicas das elipses e entender um pouquinho sobre os seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que já temos:
  • Centro da elipse:
  • Eixo maior paralelo ao eixo dos , o que significa que o eixo maior está na vertical.
  • Comprimento do eixo menor: 6 unidades. Isso nos dá o valor de , então .
  • Excentricidade ( ) =

Passo 3

Agora, vamos lembrar que para uma elipse, a excentricidade é dada por:
e = ca
Onde:
  • 12 = ca é a distância do centro até cada foco.
  • c = a2 é a distância do centro até cada vértice no eixo maior.
Temos que , então:
Isso implica que:

Passo 4

Também sabemos que em uma elipse, a relação entre c^2 = a^2 - b^2 , ( a2 )^2 = a^2 - b^2 e a^24 = a^2 - b^2 é:
Substituindo nessa equação:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar a^24 = a^2 - b^2 . Vamos isolar a^2 = 4a^2 - 4b^2 :
-3a^2 = -4b^2
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar a fração:
a^2 = 4b^23
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por -3:

Passo 6

Sabemos que a^2 = 4 times 3^23 = 4 times 93 = 363 = 12 , então:
Logo,

Passo 7

Agora que temos (x - h)^2b^2 + (y - k)^2a^2 = 1 e (x - 4)^23^2 + (y + 2)^2(2raiz3)^2 = 1 , podemos escrever a equação reduzida da elipse. Como o eixo maior é paralelo ao eixo dos (x - 4)^29 + (y + 2)^212 = 1 , a equação padrão é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 8

Por fim, para esboçar o gráfico da elipse:
  • O centro está em .
  • O eixo maior tem comprimento e está na vertical.
  • O eixo menor tem comprimento 6 unidades e está na horizontal.
  • Os vértices na vertical estarão a unidades acima e abaixo do centro: e .
  • Os vértices na horizontal estarão a unidades à direita e à esquerda do centro: e .

Resposta

A equação reduzida da elipse é:
(x - 4)^29 + (y + 2)^212 = 1

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