Obtenha uma equação reduzida e esboce o gráfico para cada um dos casos a seguir:
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos
, centro em
, excentricidade
e eixo menor medindo 6 .
Elipse com eixo maior paralelo ao eixo dos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de elipse juntos! A gente precisa achar a equação reduzida de uma elipse que tem o eixo maior paralelo ao eixo dos
, está centrada no ponto
, tem excentricidade igual a
e o eixo menor medindo 6 unidades. Para isso, vamos usar as fórmulas básicas das elipses e entender um pouquinho sobre os seus parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que já temos:
- Centro da elipse:
- Eixo maior paralelo ao eixo dos
, o que significa que o eixo maior está na vertical. - Comprimento do eixo menor: 6 unidades. Isso nos dá o valor de
, então . - Excentricidade (
) =
Passo 3
Agora, vamos lembrar que para uma elipse, a excentricidade é dada por:
Onde:
-
é a distância do centro até cada foco. -
é a distância do centro até cada vértice no eixo maior.
Temos que
, então:
Isso implica que:
Passo 4
Também sabemos que em uma elipse, a relação entre
,
e
é:
Substituindo
nessa equação:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Vamos isolar
:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar a fração:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por -3:
Passo 6
Sabemos que
, então:
Logo,
Passo 7
Agora que temos
e
, podemos escrever a equação reduzida da elipse. Como o eixo maior é paralelo ao eixo dos
, a equação padrão é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 8
Por fim, para esboçar o gráfico da elipse:
- O centro está em
. - O eixo maior tem comprimento
e está na vertical. - O eixo menor tem comprimento 6 unidades e está na horizontal.
- Os vértices na vertical estarão a
unidades acima e abaixo do centro: e . - Os vértices na horizontal estarão a
unidades à direita e à esquerda do centro: e .
Resposta
A equação reduzida da elipse é:
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Calcule o ângulo entre os planos
.
Em cada item, determine equações paramétricas para a reta que satisfaz às condições dadas.
Passa pelo ponto e é paralela à reta
.
Passa pelo ponto
Considere o ponto
e a reta
.
Determine a projeção ortogonal do ponto sobre a reta
.
Determine a projeção ortogonal do ponto
Determine o ângulo entre os planos
e
.