Em cada item, determine equações paramétricas para a reta que satisfaz às condições dadas.
Passa pelo ponto e é simultaneamente ortogonal às retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é ortogonal às retas e dadas. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, como vetores e ortogonalidade. Para isso, vamos precisar identificar os vetores diretores das retas dadas e usar o produto escalar para garantir que a nossa reta seja perpendicular a elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores das retas e . A reta é dada por:
Isso significa que e são constantes, então a reta varia apenas em . Então, o vetor diretor de é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta , que é dada por:
Podemos parametrizar usando . Então:
Portanto, o vetor diretor de é:
Passo 4
Queremos encontrar um vetor diretor para a nossa reta que seja ortogonal a ambos e . Para isso, usamos o produto escalar: e .
Vamos considerar .
Primeiro, :
Passo 5
Agora, usando a segunda condição :
Isso nos dá a relação .
Podemos escolher um valor para , por exemplo, , então . Assim, o vetor diretor fica: