Em cada item, determine equações paramétricas para a reta que satisfaz às condições dadas.
Passa pelo ponto e é simultaneamente ortogonal às retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é ortogonal às retas e dadas. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, como vetores e ortogonalidade. Para isso, vamos precisar identificar os vetores diretores das retas dadas e usar o produto escalar para garantir que a nossa reta seja perpendicular a elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores das retas e . A reta é dada por:
Isso significa que e são constantes, então a reta varia apenas em . Então, o vetor diretor de é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta r2, que é dada por:
r2:rrr y & = & 2 x+1 z & = & x-3
Podemos parametrizar r2 usando x = t. Então:
y = 2t + 1 z = t - 3
Portanto, o vetor diretor de r2 é:
v2 = 1 2 1
Passo 4
Queremos encontrar um vetor diretor d para a nossa reta que seja ortogonal a ambos v1 e v2. Para isso, usamos o produto escalar: d cdot v1 = 0 e d cdot v2 = 0.
Vamos considerar d = a b c .
Primeiro, d cdot v1 = 0:
0 cdot a + 0 cdot b + 1 cdot c = c = 0
Passo 5
Agora, usando a segunda condição d cdot v2 = 0:
1 cdot a + 2 cdot b + 1 cdot 0 = a + 2b = 0
Isso nos dá a relação a = -2b.
Podemos escolher um valor para b, por exemplo, b = 1, então a = -2. Assim, o vetor diretor fica: