Em cada item, determine equações paramétricas para a reta que satisfaz às condições dadas.
Passa pelo ponto (2,3,1) e é simultaneamente ortogonal às retas
r1:l x=3, y=1, e r2:rrr y & = & 2 x+1 z & = & x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto (2,3,1) e que é ortogonal às retas r1 e r2 dadas. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, como vetores e ortogonalidade. Para isso, vamos precisar identificar os vetores diretores das retas dadas e usar o produto escalar para garantir que a nossa reta seja perpendicular a elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores das retas r1 e r2. A reta r1 é dada por:
r1:l x=3, y=1,
Isso significa que x e y são constantes, então a reta r1 varia apenas em z. Então, o vetor diretor de r1 é:
v1 = 0 0 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta r2, que é dada por:
r2:rrr y & = & 2 x+1 z & = & x-3
Podemos parametrizar r2 usando x = t. Então:
y = 2t + 1 z = t - 3
Portanto, o vetor diretor de r2 é:
v2 = 1 2 1

Passo 4

Queremos encontrar um vetor diretor d para a nossa reta que seja ortogonal a ambos v1 e v2. Para isso, usamos o produto escalar: d cdot v1 = 0 e d cdot v2 = 0.
Vamos considerar d = a b c .
Primeiro, d cdot v1 = 0:
0 cdot a + 0 cdot b + 1 cdot c = c = 0

Passo 5

Agora, usando a segunda condição d cdot v2 = 0:
1 cdot a + 2 cdot b + 1 cdot 0 = a + 2b = 0
Isso nos dá a relação a = -2b.
Podemos escolher um valor para b, por exemplo, b = 1, então a = -2. Assim, o vetor diretor fica:
d = -2 1 0

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = 2 - 2t, y = 3 + t, z = 1,
onde t é o parâmetro.

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