Em cada item, determine equações paramétricas para a reta que satisfaz às condições dadas.
Passa pelo ponto e é simultaneamente ortogonal às retas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é ortogonal às retas e dadas. Vamos usar conceitos de Geometria Analítica, como vetores e ortogonalidade. Para isso, vamos precisar identificar os vetores diretores das retas dadas e usar o produto escalar para garantir que a nossa reta seja perpendicular a elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores das retas e . A reta é dada por:
Isso significa que e são constantes, então a reta varia apenas em . Então, o vetor diretor de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta , que é dada por:
Podemos parametrizar usando . Então:
Portanto, o vetor diretor de é:

Passo 4

Queremos encontrar um vetor diretor para a nossa reta que seja ortogonal a ambos e . Para isso, usamos o produto escalar: e .
Vamos considerar .
Primeiro, :

Passo 5

Agora, usando a segunda condição :
Isso nos dá a relação .
Podemos escolher um valor para , por exemplo, , então . Assim, o vetor diretor fica:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
onde é o parâmetro.

Exercícios relacionados

Determine, caso existam, os valores reais de para os quais o sistema a seguir seja.
a) Possível determinado;
b) Possível indeterminado;
c) Impossível.
Mostre que o conjunto é espaço vetorial.
Sejam as matrizes e , calcule o valor de dado por:
Considere a matriz .
a) A matriz é invertível?
b) Em que situação ?