Sejam as matrizes A=(ll3 & 2 1 & 1), B=(lll1 & 7 & 5 0 & 2 & 0 3 & 4 & 2) e C=(lll9 & 5 & 0 4 & 3 & 1 1 & 1 & 2), calcule o valor de X dado por:
X=[(det A cdot det C cdot(det C)^-1)^10+(det B^T+|raiz676|)^8] times[(det A)^-1 cdot(-26) cdot(det B)^-1]^97 times[det C+1992]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três matrizes , e , e precisamos calcular o valor de usando os determinantes dessas matrizes. Para isso, vamos precisar saber como calcular determinantes de matrizes de diferentes tamanhos e usar algumas propriedades básicas dos determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz A = 3 & 2 1 & 1 . A matriz det A = a11a22 - a12a21 é uma matriz 2x2:
det A = 3 cdot 1 - 2 cdot 1 = 3 - 2 = 1
Para uma matriz 2x2, o determinante é calculado assim:
Substituindo os valores:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante da matriz B = 1 & 7 & 5 0 & 2 & 0 3 & 4 & 2 . A matriz det B = 1(2 cdot 2 - 0 cdot 4) - 7(0 cdot 2 - 0 cdot 3) + 5(0 cdot 4 - 2 cdot 3) é uma matriz 3x3:
det B = 1(4 - 0) - 7(0 - 0) + 5(0 - 6) = 4 - 0 - 30 = -26
Para calcular o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus:
Fazendo as contas:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante da matriz C = 9 & 5 & 0 4 & 3 & 1 1 & 1 & 2 . A matriz det C = 9(3 cdot 2 - 1 cdot 1) - 5(4 cdot 2 - 1 cdot 1) + 0(4 cdot 1 - 3 cdot 1) também é uma matriz 3x3:
det C = 9(6 - 1) - 5(8 - 1) + 0(4 - 3) = 9 cdot 5 - 5 cdot 7 + 0 = 45 - 35 + 0 = 10
Usando a regra de Sarrus novamente:
Calculando cada parte:
Então, .

Passo 5

Vamos recapitular os valores que já encontramos:
det A = 1, det B = -26, det B^T = det B = -26, det C = 10
Também precisamos de raiz676 = 26 :
E o valor absoluto de 26 é apenas 26.

Passo 6

Agora, vamos calcular a primeira parte da expressão de (det A cdot det C cdot (det C)^-1)^10 :
det A cdot det C cdot (det C)^-1 = 1 cdot 10 cdot 110 = 1
Sabemos que 1^10 = 1 . Então:
Elevando a 10ª potência:

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda parte dentro dos colchetes:
(det B^T + |raiz676|)^8
Substituindo os valores:
det B^T + |raiz676| = -26 + 26 = 0
Elevando à 8ª potência:
0^8 = 0

Passo 8

Agora, somamos os dois resultados que obtivemos:
1 + 0 = 1

Passo 9

Vamos calcular a segunda grande parte da expressão de [(det A)^-1 cdot (-26) cdot (det B)^-1]^97 :
1 cdot (-26) cdot (-126) = 1 cdot 26 cdot 126 = 1
Sabemos que 1^97 = 1 , então , e , então . Substituindo:
Elevando à 97ª potência:

Passo 10

Finalmente, calculamos a última parte da expressão:
det C + 1992 = 10 + 1992 = 2002

Resposta

Multiplicando todas as partes que calculamos:
X = 1 times 1 times 2002 = 2002
Então, o valor de é .

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