Considere a matriz A=[ll1 & a b & 0].
a) A matriz A é invertível?
b) Em que situação A^2=A ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma matriz 1 & a b & 0 e precisamos responder duas coisas:
a) Descobrir se essa matriz é invertível.
b) Descobrir em que situação .
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de matrizes, como determinante para verificar invertibilidade e multiplicação de matrizes para a segunda parte.

Passo 2

Parte a: A matriz det(A) = (1)(0) - (a)(b) = -ab é invertível?
Primeiro, vamos entender quando uma matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se e só se o seu determinante for diferente de zero. O determinante de uma matriz -ab neq 0 implies ab neq 0 como a nossa é calculado assim:
Para que seja invertível, o determinante deve ser diferente de zero:
Isso significa que tanto quanto devem ser diferentes de zero.

Passo 3

Parte b: Em que situação A^2 = A cdot A = 1 & a b & 0 1 & a b & 0 = 1 cdot 1 + a cdot b & 1 cdot a + a cdot 0 b cdot 1 + 0 cdot b & b cdot a + 0 cdot 0 = 1 + ab & a b & ab ?
Agora, vamos descobrir quando 1 + ab & a b & ab = 1 & a b & 0 . Primeiro, vamos calcular :
Queremos que , então igualamos as matrizes:
Isso nos dá as seguintes equações:
  1. Sempre verdadeiro.
  2. Sempre verdadeiro.
A única condição importante aqui é . Isso significa que pelo menos um dos dois, ou , deve ser zero.

Resposta

a) A matriz é invertível se e são diferentes de zero, ou seja, se .
b) A igualdade acontece quando pelo menos um dos elementos ou é zero, isto é, quando .

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