Considere a matriz
.
a) A matriz
é invertível?
b) Em que situação
?
a) A matriz
b) Em que situação
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma matriz
e precisamos responder duas coisas:
a) Descobrir se essa matriz é invertível.
b) Descobrir em que situação .
a) Descobrir se essa matriz é invertível.
b) Descobrir em que situação
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de matrizes, como determinante para verificar invertibilidade e multiplicação de matrizes para a segunda parte.
Passo 2
Parte a: A matriz
é invertível?
Primeiro, vamos entender quando uma matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se e só se o seu determinante for diferente de zero. O determinante de uma matriz
como a nossa é calculado assim:
Para que
seja invertível, o determinante deve ser diferente de zero:
Isso significa que tanto
quanto
devem ser diferentes de zero.
Passo 3
Parte b: Em que situação
?
Agora, vamos descobrir quando
. Primeiro, vamos calcular
:
Queremos que
, então igualamos as matrizes:
Isso nos dá as seguintes equações:
-
-
Sempre verdadeiro. -
Sempre verdadeiro. -
A única condição importante aqui é
. Isso significa que pelo menos um dos dois,
ou
, deve ser zero.
Resposta
a) A matriz
é invertível se
e
são diferentes de zero, ou seja, se
.
b) A igualdade
acontece quando pelo menos um dos elementos
ou
é zero, isto é, quando
.