Considere a matriz .
a) A matriz é invertível?
b) Em que situação ?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. Temos uma matriz e precisamos responder duas coisas:
a) Descobrir se essa matriz é invertível.
b) Descobrir em que situação .
Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de matrizes, como determinante para verificar invertibilidade e multiplicação de matrizes para a segunda parte.
Passo 2
Parte a: A matriz é invertível?
Primeiro, vamos entender quando uma matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se e só se o seu determinante for diferente de zero. O determinante de uma matriz como a nossa é calculado assim:
Para que seja invertível, o determinante deve ser diferente de zero:
Isso significa que tanto quanto devem ser diferentes de zero.
Passo 3
Parte b: Em que situação ?
Agora, vamos descobrir quando . Primeiro, vamos calcular :
Queremos que , então igualamos as matrizes:
Isso nos dá as seguintes equações:
Sempre verdadeiro.
Sempre verdadeiro.
A única condição importante aqui é . Isso significa que pelo menos um dos dois, ou , deve ser zero.
Resposta
a) A matriz é invertível se e são diferentes de zero, ou seja, se .
b) A igualdade acontece quando pelo menos um dos elementos ou é zero, isto é, quando .