Mostre que o conjunto
é espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto
é um espaço vetorial. Isso quer dizer que
precisa satisfazer algumas regras específicas para ser considerado um espaço vetorial. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, principalmente conceitos de espaços vetoriais e operações com matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse conjunto é formado por todas as matrizes 2 por 2 cujas entradas são números reais. Por exemplo, uma matriz qualquer desse conjunto pode ser:
onde
são números reais.
Passo 3
Agora, para mostrar que
é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz os 8 axiomas de um espaço vetorial. Esses axiomas dizem respeito à forma como somamos vetores e multiplicamos por escalares, além de outras propriedades como existência de um vetor nulo e elementos inversos.
Passo 4
Vamos começar com a adição de vetores. Se pegarmos duas matrizes
e
em
:
A soma delas é:
Isso está dentro de
porque
são números reais.
Passo 5
Agora, a multiplicação por um escalar. Se multiplicarmos a matriz
por um número real
:
Novamente, todas as entradas continuam sendo números reais, então
está em
.
Passo 6
Vamos verificar alguns axiomas essenciais:
- Fechamento sob adição: Já vimos que
está em . - Fechamento sob multiplicação por escalar: Também vimos que
está em . - Existência do vetor nulo: A matriz nula
está em
e age como o elemento neutro na adição.
4. Existência de inversos aditivos: Para cada matriz , existe
tal que
.
4. Existência de inversos aditivos: Para cada matriz
Passo 7
Os outros axiomas, como associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar, etc., também são satisfeitos porque essas propriedades são herdadas das operações com números reais que a gente já conhece e que funcionam nas matrizes.
Resposta
Como todas as regras dos espaços vetoriais são cumpridas por
, podemos concluir que
é, de fato, um espaço vetorial.