Mostre que o conjunto V=M2 x 2(R) é espaço vetorial.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que o conjunto é um espaço vetorial. Isso quer dizer que precisa satisfazer algumas regras específicas para ser considerado um espaço vetorial. A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, principalmente conceitos de espaços vetoriais e operações com matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é A = a & b c & d . Esse conjunto é formado por todas as matrizes 2 por 2 cujas entradas são números reais. Por exemplo, uma matriz qualquer desse conjunto pode ser:
onde são números reais.

Passo 3

Agora, para mostrar que é um espaço vetorial, precisamos verificar se ele satisfaz os 8 axiomas de um espaço vetorial. Esses axiomas dizem respeito à forma como somamos vetores e multiplicamos por escalares, além de outras propriedades como existência de um vetor nulo e elementos inversos.

Passo 4

Vamos começar com a adição de vetores. Se pegarmos duas matrizes A = a & b c & d , B = e & f g & h e A + B = a+e & b+f c+g & d+h em :
A soma delas é:
Isso está dentro de porque são números reais.

Passo 5

Agora, a multiplicação por um escalar. Se multiplicarmos a matriz kA = ka & kb kc & kd por um número real :
Novamente, todas as entradas continuam sendo números reais, então está em .

Passo 6

Vamos verificar alguns axiomas essenciais:
  1. Fechamento sob adição: Já vimos que 0 = 0 & 0 0 & 0 está em .
  2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Também vimos que está em .
  3. Existência do vetor nulo: A matriz nula
está em e age como o elemento neutro na adição.
4. Existência de inversos aditivos: Para cada matriz , existe tal que .

Passo 7

Os outros axiomas, como associatividade e comutatividade da adição, distributividade da multiplicação por escalar, etc., também são satisfeitos porque essas propriedades são herdadas das operações com números reais que a gente já conhece e que funcionam nas matrizes.

Resposta

Como todas as regras dos espaços vetoriais são cumpridas por , podemos concluir que é, de fato, um espaço vetorial.

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