Determine, caso existam, os valores reais de k para os quais o sistema a seguir seja.
l x-y+2 z=2 -2 x+3 y-3 z=-6 x+(k^2+2) z=k-1
a) Possível determinado;
b) Possível indeterminado;
c) Impossível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descobrir para quais valores de o sistema de equações dado tem diferentes tipos de soluções. Estamos lidando com sistemas lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. Precisamos verificar se o sistema é:
a) Possível determinado: tem uma única solução.
b) Possível indeterminado: tem infinitas soluções.
c) Impossível: não tem solução.
Para resolver isso, vamos analisar o sistema usando determinantes e verificar as condições para cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x - y + 2z = 2 -2x + 3y - 3z = -6 x + (k^2 + 2)z = k - 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem o sistema ser determinado, indeterminado ou impossível.

Passo 3

Vamos organizar as equações em forma de matriz, separando os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Matriz dos coeficientes:
A = 1 & -1 & 2 -2 & 3 & -3 1 & 0 & k^2 + 2
Vetor das constantes:
B = 2 -6 k - 1

Passo 4

Para saber se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes . O determinante nos ajuda a entender se as equações são independentes ou não.
Se , o sistema tem uma única solução (determinado).
Se , precisamos verificar se o sistema é indeterminado ou impossível.

Passo 5

Calculando o determinante de det(A) = 1 & -1 & 2 -2 & 3 & -3 1 & 0 & k^2 + 2 :
det(A) = 1 cdot (3 cdot (k^2 + 2) - (-3) cdot 0) - (-1) cdot (-2 cdot (k^2 + 2) - (-3) cdot 1) + 2 cdot (-2 cdot 0 - 3 cdot 1)
Usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace, vamos expandir o determinante:
det(A) = 3(k^2 + 2) - 2k^2 -1 -6 = 3k^2 + 6 - 2k^2 -1 -6 = k^2 -1
Simplificando passo a passo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
Somando tudo:

Passo 6

Agora, temos que:
det(A) = k^2 - 1
Vamos analisar os casos:
  1. Determinado ( k^2 - 1 neq 0 Rightarrow k^2 neq 1 Rightarrow k neq 1 e k neq -1 ):
k^2 - 1 = 0 Rightarrow k = 1 ou k = -1
Então, para todo diferente de e , o sistema tem uma única solução.
  1. Indeterminado ou Impossível ( ):
Vamos verificar esses dois casos separadamente para ver se o sistema é indeterminado ou impossível.

Passo 7

Caso 1: x + (1^2 + 2)z = 1 - 1 Rightarrow x + 3z = 0 (3a)
Substituindo x - y + 2z = 2 (1) -2x + 3y - 3z = -6 (2) x + 3z = 0 (3a) na terceira equação:
x = -3z
Agora, temos o sistema:
-3z - y + 2z = 2 Rightarrow -y - z = 2 Rightarrow y = -z - 2 (4)
Vamos resolver esse sistema. Da equação (3a), podemos expressar -2(-3z) + 3(-z - 2) - 3z = -6 6z - 3z - 6 - 3z = -6 0z -6 = -6 -6 = -6 em função de x + ((-1)^2 + 2)z = -1 - 1 Rightarrow x + 3z = -2 (3b) :
x - y + 2z = 2 (1) -2x + 3y - 3z = -6 (2) x + 3z = -2 (3b)
Substituindo x = -2 - 3z na equação (1):
(-2 - 3z) - y + 2z = 2 Rightarrow -2 - z - y = 2 Rightarrow -y - z = 4 Rightarrow y = -z - 4 (5)
Agora, substituindo -2(-2 - 3z) + 3(-z - 4) - 3z = -6 4 + 6z - 3z -12 -3z = -6 0z -8 = -6 -8 = -6 e na equação (2):
Obtemos uma igualdade verdadeira, o que significa que apresenta infinitas soluções. Portanto, quando , o sistema é possível indeterminado.
Caso 2:
Substituindo na terceira equação:
Agora, temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (3b), podemos expressar em função de :
Substituindo na equação (1):
Agora, substituindo e na equação (2):
Obtemos uma contradição, pois . Isso significa que não há solução para esse caso. Portanto, quando , o sistema é impossível.

Resposta

a) Para todo real diferente de e , o sistema é possível determinado.
b) Para , o sistema é possível indeterminado.
c) Para , o sistema é impossível.

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