Determine, caso existam, os valores reais de para os quais o sistema a seguir seja.
a) Possível determinado;
b) Possível indeterminado;
c) Impossível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descobrir para quais valores de o sistema de equações dado tem diferentes tipos de soluções. Estamos lidando com sistemas lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. Precisamos verificar se o sistema é:
a) Possível determinado: tem uma única solução.
b) Possível indeterminado: tem infinitas soluções.
c) Impossível: não tem solução.
Para resolver isso, vamos analisar o sistema usando determinantes e verificar as condições para cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
x - y + 2z = 2 -2x + 3y - 3z = -6 x + (k^2 + 2)z = k - 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem o sistema ser determinado, indeterminado ou impossível.
Passo 3
Vamos organizar as equações em forma de matriz, separando os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Matriz dos coeficientes:
A = 1 & -1 & 2 -2 & 3 & -3 1 & 0 & k^2 + 2
Vetor das constantes:
B = 2 -6 k - 1
Passo 4
Para saber se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes . O determinante nos ajuda a entender se as equações são independentes ou não.
Se , o sistema tem uma única solução (determinado).
Se , precisamos verificar se o sistema é indeterminado ou impossível.