Determine, caso existam, os valores reais de para os quais o sistema a seguir seja.
a) Possível determinado;
b) Possível indeterminado;
c) Impossível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente descobrir para quais valores de o sistema de equações dado tem diferentes tipos de soluções. Estamos lidando com sistemas lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. Precisamos verificar se o sistema é:
a) Possível determinado: tem uma única solução.
b) Possível indeterminado: tem infinitas soluções.
c) Impossível: não tem solução.
Para resolver isso, vamos analisar o sistema usando determinantes e verificar as condições para cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações:
Nosso objetivo é encontrar os valores de que fazem o sistema ser determinado, indeterminado ou impossível.

Passo 3

Vamos organizar as equações em forma de matriz, separando os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Matriz dos coeficientes:
Vetor das constantes:

Passo 4

Para saber se o sistema tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes . O determinante nos ajuda a entender se as equações são independentes ou não.
Se , o sistema tem uma única solução (determinado).
Se , precisamos verificar se o sistema é indeterminado ou impossível.

Passo 5

Calculando o determinante de :
Usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace, vamos expandir o determinante:
Simplificando passo a passo:
  1. Primeiro termo:
  2. Segundo termo:
  3. Terceiro termo:
Somando tudo:

Passo 6

Agora, temos que:
Vamos analisar os casos:
  1. Determinado ( ):
Então, para todo diferente de e , o sistema tem uma única solução.
  1. Indeterminado ou Impossível ( ):
Vamos verificar esses dois casos separadamente para ver se o sistema é indeterminado ou impossível.

Passo 7

Caso 1:
Substituindo na terceira equação:
Agora, temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (3a), podemos expressar em função de :
Substituindo na equação (1):
Agora, substituindo e na equação (2):
Obtemos uma igualdade verdadeira, o que significa que apresenta infinitas soluções. Portanto, quando , o sistema é possível indeterminado.
Caso 2:
Substituindo na terceira equação:
Agora, temos o sistema:
Vamos resolver esse sistema. Da equação (3b), podemos expressar em função de :
Substituindo na equação (1):
Agora, substituindo e na equação (2):
Obtemos uma contradição, pois . Isso significa que não há solução para esse caso. Portanto, quando , o sistema é impossível.

Resposta

a) Para todo real diferente de e , o sistema é possível determinado.
b) Para , o sistema é possível indeterminado.
c) Para , o sistema é impossível.

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