Em cada item, determine equações paramétricas para a reta que satisfaz às condições dadas.
Passa pelo ponto (-1,2,-5) e é paralela à reta que passa pelos pontos A=(1,0,2) e B=(5,-3,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto (-1, 2, -5) e que é paralela a outra reta que passa pelos pontos A=(1, 0, 2) e B=(5, -3, -1). A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como determinar a direção de uma reta a partir de dois pontos e usar essa direção para escrever as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta que passa pelos pontos A e B. O vetor diretor é simplesmente a diferença entre as coordenadas de B e A. Então:
AB = B - A = (5 - 1, , -3 - 0, , -1 - 2) = (4, -3, -3)
Esse vetor AB = (4, -3, -3) indica a direção da reta que passa por A e B.

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor, podemos escrever as equações paramétricas da reta que queremos encontrar. As equações paramétricas de uma reta no espaço são dadas por:
x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t
Onde (x0, y0, z0) é um ponto por onde a reta passa, e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor. No nosso caso, o ponto é (-1, 2, -5) e o vetor diretor é (4, -3, -3).

Passo 4

Substituindo os valores que temos nas equações paramétricas:
x = -1 + 4t y = 2 - 3t z = -5 - 3t
Aqui, t é o parâmetro que varia ao longo da reta. Cada valor de t nos dá um ponto diferente na reta.

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = -1 + 4t y = 2 - 3t z = -5 - 3t

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