Prove que . e . Calcule:
(a) o volume do paralelepípedo ;
(b) o volume do tetraedro .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício tem duas partes:
Provar a identidade vetorial: .
Calcular volumes:
(a) O volume do paralelepípedo usando e .
(b) O volume do tetraedro .
Para resolver isso, vamos precisar entender operações com vetores, especialmente o produto vetorial (), e como calcular volumes usando determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos provar a identidade vetorial .
O produto vetorial () entre dois vetores resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais, e segue algumas propriedades distributivas e anticomutativas.
Vamos expandir o lado esquerdo da igualdade:
Sabemos que qualquer vetor cruzado consigo mesmo é zero, ou seja, . Assim, simplificamos:
Agora, reorganizando os termos:
Isso confirma a identidade que queríamos provar.
Passo 3
Agora, vamos calcular o volume do paralelepípedo .
Sabemos que o volume de um paralelepípedo formado por três vetores , , e é dado pelo valor absoluto do determinante formado por esses vetores:
Nesse caso, precisamos identificar três vetores que definem o paralelepípedo. Temos e . Vamos considerar o terceiro vetor como sendo o vetor posição de outro ponto, digamos .
No entanto, para simplificar, vamos assumir que os vetores e são dois dos vetores que definem o paralelepípedo, e precisamos de um terceiro vetor . Sem informações adicionais, podemos considerar que o terceiro vetor é , mas como não está dado, vamos precisar de mais dados ou fazer uma suposição.
Vamos supor que o terceiro vetor seja . Porém, como não temos esses valores, não podemos prosseguir. Parece que houve uma falta de informações no enunciado para calcular o volume do paralelepípedo. Talvez haja mais vetores ou pontos fornecidos que faltaram ser mencionados.
Resposta
Não foi possível calcular o volume do paralelepípedo e do tetraedro com as informações fornecidas.