Em cada item, determine a forma em componentes do vetor v no espaço bidimensional que tenha o comprimento dado e faça o ângulo theta dado com o eixo x positivo.
b) |v|=5 ; theta=120^circ

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa encontrar as componentes do vetor v num plano bidimensional. A gente sabe que o comprimento do vetor é 5 e que ele forma um ângulo de 120^circ com o eixo positivo do x. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria básica para decompor o vetor nas direções x e y.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar que qualquer vetor em duas dimensões pode ser decomposto nas suas componentes horizontal ( vx) e vertical ( vy). Essas componentes podem ser encontradas usando as funções cosseno e seno do ângulo que o vetor faz com o eixo x. A fórmula geral fica assim:
vx = |v| cdot cos(theta)
vy = |v| cdot sin(theta)
Aqui, |v| é o comprimento do vetor e theta é o ângulo com o eixo x.

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que a gente tem no problema. Sabemos que |v| = 5 e theta = 120^circ. Então:
vx = 5 cdot cos(120^circ)
vy = 5 cdot sin(120^circ)

Passo 4

Vamos calcular os valores dos cosseno e seno de 120^circ. Lembrando que 120^circ está no segundo quadrante, onde o cosseno é negativo e o seno é positivo:
cos(120^circ) = -12
sin(120^circ) = raiz32

Passo 5

Agora, substituímos esses valores nas equações das componentes:
vx = 5 cdot (-12) = -52 = -2,5
vy = 5 cdot raiz32 = 5raiz32 approx 4,33

Resposta

Portanto, a forma em componentes do vetor v é:
v = (-2,5, 4,33)

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