Sejam
e
vetores do
. Determine os escalares
e
que satisfazem as combinações:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores,
e
, no espaço
. O objetivo é encontrar os escalares
e
que, quando a gente combina esses vetores com esses escalares, o resultado é o vetor
. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e resolução de sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que cada componente do vetor resultante deve ser igual à correspondente no vetor dado. Então, vamos escrever isso componente por componente.
Passo 3
Vamos escrever as equações para cada componente:
- Na primeira posição:
- Na segunda posição:
- Na terceira posição:
- Na quarta posição:
Passo 4
Agora, temos um sistema com quatro equações e duas incógnitas. Isso pode parecer complicado, mas vamos ver se todas as equações são consistentes. Vamos resolver as equações uma por uma.
Passo 5
Começando pela segunda equação:
. Resolvendo para
:
Passo 6
Agora que sabemos que
, vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar
:
Passo 7
Vamos verificar se esses valores satisfazem as outras equações para ter certeza:
- Terceira equação:
✅ - Quarta equação:
✅
Tudo confere!
Resposta
Os escalares que satisfazem a combinação são
e
.