Sejam u=lang<= 1,3,-2,1rang<= e v=lang<= 2,0,-1,4rang<= vetores do R^4. Determine os escalares alpha1 e alpha2 que satisfazem as combinações:
a) alpha1 u+alpha2 v=lang<= 8,6,-7,14rang<=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores, u = lang<= 1,3,-2,1 rang<= e v = lang<= 2,0,-1,4 rang<=, no espaço R^4. O objetivo é encontrar os escalares alpha1 e alpha2 que, quando a gente combina esses vetores com esses escalares, o resultado é o vetor lang<= 8,6,-7,14 rang<=. Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e resolução de sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa alpha1 u + alpha2 v = lang<= 8,6,-7,14 rang<=. Isso quer dizer que cada componente do vetor resultante deve ser igual à correspondente no vetor dado. Então, vamos escrever isso componente por componente.

Passo 3

Vamos escrever as equações para cada componente:
  1. Na primeira posição: 1alpha1 + 2alpha2 = 8
  2. Na segunda posição: 3alpha1 + 0alpha2 = 6
  3. Na terceira posição: -2alpha1 -1alpha2 = -7
  4. Na quarta posição: 1alpha1 + 4alpha2 = 14

Passo 4

Agora, temos um sistema com quatro equações e duas incógnitas. Isso pode parecer complicado, mas vamos ver se todas as equações são consistentes. Vamos resolver as equações uma por uma.

Passo 5

Começando pela segunda equação: 3alpha1 = 6. Resolvendo para alpha1:
alpha1 = 63 = 2

Passo 6

Agora que sabemos que alpha1 = 2, vamos substituir esse valor na primeira equação para encontrar alpha2:
1(2) + 2alpha2 = 8 2 + 2alpha2 = 8 2alpha2 = 8 - 2 2alpha2 = 6 alpha2 = 62 = 3

Passo 7

Vamos verificar se esses valores satisfazem as outras equações para ter certeza:
  • Terceira equação: -2(2) -1(3) = -4 -3 = -7
  • Quarta equação: 1(2) + 4(3) = 2 + 12 = 14
Tudo confere!

Resposta

Os escalares que satisfazem a combinação são alpha1 = 2 e alpha2 = 3.

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