Determine o escalar k para que o vetor v=lang<= 3 k, 3 k, 4 krang<= seja unitário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o valor do escalar para que o vetor seja unitário. Vetores unitários são vetores com magnitude (ou comprimento) igual a 1. Para resolver isso, vamos precisar calcular a magnitude do vetor e igualá-la a 1.

Passo 2

A magnitude de um vetor | v | = raiza^2 + b^2 + c^2 é calculada usando a fórmula:
Vamos aplicar isso ao vetor .

Passo 3

Calculando cada componente ao quadrado:
(3k)^2 = 9k^2, (3k)^2 = 9k^2, (4k)^2 = 16k^2

Passo 4

Somando os quadrados das componentes:
9k^2 + 9k^2 + 16k^2 = 34k^2

Passo 5

Agora, a magnitude do vetor é:
| v | = raiz34k^2 = raiz34 cdot |k|
Para que o vetor seja unitário, essa magnitude deve ser igual a 1.

Passo 6

Igualando a magnitude a 1:
raiz34 cdot |k| = 1
Agora, resolvendo para |k| = 1raiz34 :

Passo 7

Portanto, o valor de k = pm 1raiz34 pode ser positivo ou negativo:

Resposta

O valor do escalar é .

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