Determine a área do paralelogramo formados pelos vetores u e v tais que:
b) |u|=2,|v|=3 e u cdot v=3 raiz2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v. Esse problema está na área de álgebra vetorial, e para resolver a gente vai precisar das magnitudes dos vetores e do produto interno entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores. A fórmula é:
Área = |u| times |v| times sin(theta) Á
Onde é o ângulo entre os vetores u e v. Mas a gente não tem diretamente , então vamos encontrar uma forma de relacionar tudo isso.

Passo 3

Sabemos que o produto interno (ou produto escalar) entre dois vetores também pode ser expresso como:
u cdot v = |u| times |v| times cos(theta)
A partir daí, podemos isolar cos(theta) = u cdot v|u| times |v| :

Passo 4

Agora, como queremos sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1 , podemos usar a identidade trigonométrica:
sin(theta) = raiz1 - cos^2(theta)
Assim, podemos encontrar sabendo :

Passo 5

Vamos calcular cos(theta) = 3raiz22 times 3 = 3raiz26 = raiz22 com os valores que temos:

Passo 6

Agora, encontramos sin(theta) = raiz1 - (raiz22)^2 = raiz1 - 24 = raiz24 = raiz22 :

Passo 7

Finalmente, substituímos tudo na fórmula da área:
Área = 2 times 3 times raiz22 = 6 times raiz22 = 3raiz2 Á

Resposta

A área do paralelogramo é unidades de área.

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