Em cada item, determine uma função f tal que F=nabla f. Em seguida, use esta informação para calcular integralC F cdot d r sobre a curva C dada. F(x, y, z)=y^2 cos z i+2 x y cos z j-x y^2 sen z k C é dada por r(t)=t^1 i+sen t j+t k, 0 <= t <= pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função F(x, y, z) = y^2 cos z , i + 2xy cos z , j - xy^2 sen z , k tal que r(t) = t , i + sen t , j + t , k, 0 <= t <= pi . Depois disso, precisamos calcular a integral de linha sobre a curva dada. A força e a curva são definidas da seguinte forma:
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a função partial fpartial x = y^2 cos z tal que partial fpartial y = 2xy cos z . Isso significa que:
partial fpartial z = -xy^2 sen z
f(x, y, z) = integral y^2 cos z , dx = x y^2 cos z + g(y, z)
Vamos integrar a primeira equação em relação a :
Onde é uma função que depende de e .

Passo 3

Agora, vamos derivar partial fpartial y = 2xy cos z + partial gpartial y = 2xy cos z em relação a e igualar à segunda equação:
Isso implica que , ou seja, não depende de e é apenas uma função de .
Então, .

Passo 4

Finalmente, vamos derivar partial fpartial z = -x y^2 sen z + dhdz = -x y^2 sen z em relação a f(x, y, z) = x y^2 cos z e igualar à terceira equação:
Isso nos diz que , então é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Portanto, a função potencial é:

Resposta

A integral de linha é igual a zero, ou seja:
integralC F cdot dr = 0

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