Em cada item, determine uma função
tal que
. Em seguida, use esta informação para calcular
sobre a curva
dada.
é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função
tal que
. Depois disso, precisamos calcular a integral de linha
sobre a curva
dada. A força
e a curva
são definidas da seguinte forma:
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a função
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Onde
é uma função que depende de
e
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
e igualar à segunda equação:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
e é apenas uma função de
.
Então,
.
Passo 4
Finalmente, vamos derivar
em relação a
e igualar à terceira equação:
Isso nos diz que
, então
é uma constante. Podemos considerar essa constante como zero para simplificar.
Portanto, a função potencial é:
Resposta
A integral de linha é igual a zero, ou seja: