Calcule a integral ao longo de (orientada no sentido anti-horário). é a fronteira da região limitada por e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você me mandou. O exercício envolve calcular a integral ao longo da curva que é a fronteira da região delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar o teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região encerrada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a integral. Temos:
O teorema de Green diz que:
Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão do teorema de Green:

Passo 4

Agora, vamos definir os limites da região . As curvas que limitam são e . Para encontrar os pontos de interseção dessas curvas, igualamos as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Com isso, sabemos que varia de 0 a 1. Para cada valor de nesse intervalo, varia de até (já que implica ). Então, nossa integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, substituímos isso na integral externa:

Passo 7

Expandindo os termos:
Agora, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Agora, somamos todos os resultados:
Convertendo para denominador comum, que é 30:

Resposta

O valor da integral é .

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A equação mais apropriada para representação de gases reais a altas pressões é a equação de estado de van der Waals:
Para o gás dióxido de carbono , onde:
Parâmetros Valor/unidade
R 0.082054 L). atm.
a 3.592
b 0.04267
A pressão de interesse é 10 atm para a temperatura de 500 K . Estimar o volume molar (v) a partir do método de Newton e da Secante. Considere o número máximo de 3 iterações ou um erro relativo de .
Considerando um número máximo de 3 iterações ou um erro relativo de , use os métodos da bisseção e falsa posição para determinar o coeficiente de arrasto necessário para um paraquedista de massa para ter uma velocidade de , após queda livre para o tempo . Nota: A aceleração da gravidade é de .
Em cada item, determine uma função tal que . Em seguida, use esta informação para calcular sobre a curva dada. é dada por
Determine a constante para que o campo seja conservativo. Em seguida, calcule a integral em que é o segmento de reta de a .