Calcule a integral ao longo de C (orientada no sentido anti-horário). integralC(2 x y-x^2) d x+(x-y^2) d y ; C é a fronteira da região limitada por y=x^2 e y^2=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você me mandou. O exercício envolve calcular a integral ao longo da curva que é a fronteira da região delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar o teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região encerrada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a integral. Temos:
P(x, y) = 2xy - x^2
Q(x, y) = x - y^2
O teorema de Green diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy
Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando as derivadas:
partial Qpartial x = partialpartial x(x - y^2) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(2xy - x^2) = 2x
Substituindo na expressão do teorema de Green:
integral duplaD (1 - 2x) , dx , dy

Passo 4

Agora, vamos definir os limites da região y = x^2 . As curvas que limitam y^2 = x são (x^2)^2 = x Rightarrow x^4 = x Rightarrow x(x^3 - 1) = 0 Rightarrow x = 0 ou x = 1 e . Para encontrar os pontos de interseção dessas curvas, igualamos as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Com isso, sabemos que integral0^1 integralx^2^raizx (1 - 2x) , dy , dx varia de 0 a 1. Para cada valor de nesse intervalo, varia de até (já que implica ). Então, nossa integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integralx^2^raizx (1 - 2x) , dy = (1 - 2x)(raizx - x^2) :
integral0^1 (1 - 2x)(raizx - x^2) , dx
Agora, substituímos isso na integral externa:

Passo 7

Expandindo os termos:
(1)(raizx - x^2) - 2x(raizx - x^2) = raizx - x^2 - 2x^3/2 + 2x^3
Agora, a integral fica:
integral0^1 ( raizx - x^2 - 2x^3/2 + 2x^3 ) dx

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 raizx , dx = 23x^3/2 |0^1 = 23
integral0^1 -x^2 , dx = -13x^3 |0^1 = -13
integral0^1 -2x^3/2 , dx = -2 cdot 25x^5/2 |0^1 = -45
integral0^1 2x^3 , dx = 2 cdot 14x^4 |0^1 = 12

Passo 9

Agora, somamos todos os resultados:
23 - 13 - 45 + 12
Convertendo para denominador comum, que é 30:
2030 - 1030 - 2430 + 1530 = 130

Resposta

O valor da integral é .

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