Calcule a integral ao longo de (orientada no sentido anti-horário). é a fronteira da região limitada por e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha que você me mandou. O exercício envolve calcular a integral ao longo da curva que é a fronteira da região delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar o teorema de Green, que nos ajuda a transformar uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região encerrada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a integral. Temos:
O teorema de Green diz que:
Então, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão do teorema de Green:
Passo 4
Agora, vamos definir os limites da região . As curvas que limitam são e . Para encontrar os pontos de interseção dessas curvas, igualamos as duas equações:
Substituindo na segunda equação:
Então, os pontos de interseção são e .
Passo 5
Com isso, sabemos que varia de 0 a 1. Para cada valor de nesse intervalo, varia de até (já que implica ). Então, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :