Determine a constante k para que o campo F(x, y)=(y^2-x y, k x^2-4 k x y) seja conservativo. Em seguida, calcule a integral integralC F cdot d r em que C é o segmento de reta de (0,0) a (1,1).

Passo 1

Resumo do Enunciado: A gente precisa encontrar o valor da constante que faz com que o campo vetorial seja conservativo. Depois disso, vamos calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Entendendo Campos Conservativos: Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que . Isso significa que e . Uma condição importante para que um campo seja conservativo é que as derivadas parciais mistas sejam iguais, ou seja, .

Passo 3

Calculando as Derivadas Parciais: Vamos calcular partial Ppartial y = 2y - x e partial Qpartial x = 2kx - 4ky para o nosso campo .
Primeiro, temos . Então,
Depois, . Então,

Passo 4

Igualando as Derivadas: Para que o campo seja conservativo, precisamos que 2y - x = 2kx - 4ky . Assim:
2y + 4ky = 2kx + x
Vamos reorganizar essa equação para encontrar o valor de y(2 + 4k) = x(2k + 1) . Colocando todos os termos com 2 + 4k = 0 e 2k + 1 = 0 de um lado e os com 4k = -2 implies k = -12 do outro:
Para que isso seja verdade para todos os e , os coeficientes de e devem ser iguais a zero:
Resolvendo a primeira equação:

Passo 5

Calculando a Integral de Linha: Agora que sabemos que phi(x, y) = integral (y^2 - x y) , dx = y^2x - 12x^2y + g(y) , o campo partial phipartial y = 2xy - 12x^2 + g'(y) é conservativo. Em campos conservativos, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho. Podemos encontrar uma função potencial 2xy - 12x^2 + g'(y) = -12x^2 + 2xy tal que phi(x, y) = y^2x - 12x^2y .
Integrando integralC F cdot d r = phi(1,1) - phi(0,0) em relação a phi(1,1) = (1)^2(1) - 12(1)^2(1) = 1 - 12 = 12 :
Onde é uma função de .
Derivando em relação a :
Igualando a :
Isso implica que , então é uma constante, que podemos ignorar.
Portanto, a função potencial é:
Agora, calculamos a integral de linha de a :
Calculando :
E .

Resposta

A constante é e a integral de linha é .

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