Determine a constante
para que o campo
seja conservativo. Em seguida, calcule a integral
em que
é o segmento de reta de
a
.
Passo 1
Resumo do Enunciado: A gente precisa encontrar o valor da constante
que faz com que o campo vetorial
seja conservativo. Depois disso, vamos calcular a integral de linha
, onde
é o segmento de reta de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente sobre campos conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Entendendo Campos Conservativos: Um campo vetorial
é conservativo se existe uma função escalar
tal que
. Isso significa que
e
. Uma condição importante para que um campo seja conservativo é que as derivadas parciais mistas sejam iguais, ou seja,
.
Passo 3
Calculando as Derivadas Parciais: Vamos calcular
e
para o nosso campo
.
Primeiro, temos
. Então,
Depois,
. Então,
Passo 4
Igualando as Derivadas: Para que o campo seja conservativo, precisamos que
. Assim:
Vamos reorganizar essa equação para encontrar o valor de
. Colocando todos os termos com
de um lado e os com
do outro:
Para que isso seja verdade para todos os
e
, os coeficientes de
e
devem ser iguais a zero:
Resolvendo a primeira equação:
Passo 5
Calculando a Integral de Linha: Agora que sabemos que
, o campo
é conservativo. Em campos conservativos, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho. Podemos encontrar uma função potencial
tal que
.
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Derivando
em relação a
:
Igualando a
:
Isso implica que
, então
é uma constante, que podemos ignorar.
Portanto, a função potencial é:
Agora, calculamos a integral de linha de
a
:
Calculando
:
E
.
Resposta
A constante
é
e a integral de linha é
.