- Determine o maior intervalo em que os problemas de valor inicial abaixo têm solução, sem resolvê-los.
(d)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior intervalo de valores de
onde essa equação tem solução. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre continuidade dos coeficientes e onde o coeficiente da derivada não é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a equação que temos:
E a condição inicial é
.
Aqui, o coeficiente de
é
. Para garantir que a equação está bem comportada, precisamos que esse coeficiente não seja zero, porque se for zero, a equação deixa de ser uma equação diferencial comum e pode causar problemas na existência de soluções.
Passo 3
Vamos encontrar onde
. Resolvendo essa equação:
Então,
ou
. Esses são os pontos onde o coeficiente de
é zero.
Passo 4
Agora, queremos o maior intervalo que inclui
(porque a condição inicial está nesse ponto) e que não inclui
ou
, já que nesses valores a equação não está bem definida.
Como
é maior que 1, o intervalo que consideramos deve ser de
, já que nesse intervalo
nunca será zero, garantindo que a equação diferencial está válida e os coeficientes são contínuos.
Passo 5
Então, aplicando o Teorema da Existência e Unicidade, que nos diz que se os coeficientes da equação diferencial são contínuos e o coeficiente de
não é zero em um intervalo, então existe uma única solução para a condição inicial nesse intervalo.
Resposta
O maior intervalo onde o problema de valor inicial tem solução é
.