• Determine o maior intervalo em que os problemas de valor inicial abaixo têm solução, sem resolvê-los.
    (d) (t^2 - t) y' + (t + 3) y = cos(t) , y(2) = y0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial. Nosso objetivo é descobrir qual é o maior intervalo de valores de onde essa equação tem solução. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre continuidade dos coeficientes e onde o coeficiente da derivada não é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a equação que temos:
E a condição inicial é .
Aqui, o coeficiente de é . Para garantir que a equação está bem comportada, precisamos que esse coeficiente não seja zero, porque se for zero, a equação deixa de ser uma equação diferencial comum e pode causar problemas na existência de soluções.

Passo 3

Vamos encontrar onde . Resolvendo essa equação:
Então, ou . Esses são os pontos onde o coeficiente de é zero.

Passo 4

Agora, queremos o maior intervalo que inclui (porque a condição inicial está nesse ponto) e que não inclui ou , já que nesses valores a equação não está bem definida.
Como é maior que 1, o intervalo que consideramos deve ser de , já que nesse intervalo nunca será zero, garantindo que a equação diferencial está válida e os coeficientes são contínuos.

Passo 5

Então, aplicando o Teorema da Existência e Unicidade, que nos diz que se os coeficientes da equação diferencial são contínuos e o coeficiente de não é zero em um intervalo, então existe uma única solução para a condição inicial nesse intervalo.

Resposta

O maior intervalo onde o problema de valor inicial tem solução é .

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