Em cada item, determine a função (primitiva) sabendo que: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função primitiva sabendo que a derivada dela e que . Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo de integrais e primitivas, que são ferramentas essenciais para encontrar funções a partir de suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função primitiva. Basicamente, se você tem uma função , uma primitiva dela é uma função cuja derivada é exatamente . Para encontrar , precisamos integrar . Integrar é o processo inverso da derivada.

Passo 3

Vamos então calcular a integral de :
Aqui, a gente vai integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Vamos integrar cada termo:
  1. Integral de :
    Isso porque, ao integrar , usamos a regra .
  2. Integral de :
    Aqui, tiramos o 6 para fora e integramos .
  3. Integral de :
    A integral de uma constante é a constante multiplicada por .

Passo 5

Somando todas as integrais e adicionando a constante de integração , temos:
A constante aparece porque existem infinitas primitivas para uma função, diferindo apenas por uma constante.

Passo 6

Agora, vamos usar a condição dada para encontrar o valor de . Substituindo na expressão de :
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

A função primitiva é:

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Calcule as integrais.
Calcule.
Em cada item, determine a função (primitiva) sabendo que: e ;