Calcule.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais que combinam funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas técnicas de integração avançadas, já que essa integral não é direta. Vamos dar uma olhada nos passos!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Uma forma de lidar com potências que têm funções no expoente é reescrever a expressão usando a função exponencial e logaritmo natural, porque sabemos que .

Passo 3

Então, reescrevemos da seguinte maneira:
Agora, nossa integral fica:

Passo 4

Essa expressão ainda é complicada para integrar diretamente. Vamos tentar simplificar ou encontrar uma substituição que facilite. No entanto, nesse caso, uma substituição simples não ajuda muito.

Passo 5

Outra abordagem é expandir a função exponencial em série de Taylor. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:
Isso nos dá uma série infinita de integrais mais simples.

Passo 6

Entretanto, mesmo com a série, as integrais resultantes ainda envolvem funções que não têm antiderivadas em termos de funções elementares. Ou seja, não conseguimos expressar a integral de uma forma que envolva apenas funções básicas como polinômios, exponenciais, logaritmos ou trigonométricas.

Passo 7

Portanto, concluímos que a integral não pode ser expressa em termos de funções elementares conhecidas. Para resolver isso numericamente, seriam necessários métodos de integração numérica ou expressá-la em termos de funções especiais, como a função integral exponencial.

Resposta

A integral não pode ser expressa em termos de funções elementares conhecidas e, portanto, não possui uma antiderivada fechada utilizando funções básicas.

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Em cada item, determine a função (primitiva) sabendo que: e .
Em cada item, determine a função (primitiva) sabendo que: e ;
Calcule.