Calcule as integrais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de
de 0 até
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente substituição para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar
. Isso significa que
. Agora, precisamos encontrar
em termos de
.
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na integral original. Também precisamos ajustar os limites de integração de
para
.
Quando
:
Quando
:
Passo 4
Substituindo na integral:
Sabemos que
, então a expressão simplifica para:
Passo 5
Agora, a integral ficou bem mais simples:
Para resolver essa integral, usamos a regra da potência. A integral de
em relação a
é:
Passo 6
Aplicando os limites de integração:
Resposta
A integral vale
.
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Nos problemas de 15 a 18, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando
.
Em cada item, determine a função
(primitiva) sabendo que:
e
.