Calcule as integrais. integral0^1 / 2 sin ^-1 xraiz1-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral definida de de 0 até . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar dx = cos t , dt . Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de .
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos substituir t = sin^-1(0) = 0 e t = sin^-1(12) = pi6 na integral original. Também precisamos ajustar os limites de integração de para .
Quando :
Quando :

Passo 4

Substituindo na integral:
integral0^12 sin^-1 xraiz1 - x^2 , dx = integral0^pi6 traiz1 - sin^2 t cdot cos t , dt
Sabemos que integral0^pi6 tcos t cdot cos t , dt = integral0^pi6 t , dt , então a expressão simplifica para:

Passo 5

Agora, a integral ficou bem mais simples:
integral0^pi6 t , dt
Para resolver essa integral, usamos a regra da potência. A integral de t^22 em relação a é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
[ t^22 ]0^pi6 = (pi6)^22 - 0^22 = pi^272

Resposta

A integral vale .

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