Use a regra de Lc) lim x pi2 sec ^2(x)sec ^2(3 x)

Passo 1

Vamos calcular o limite . Para isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é uma técnica usada para resolver limites que resultam em formas indeterminadas, como ou . Precisamos entender um pouco sobre funções trigonométricas e suas derivadas para aplicar essa regra corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando se aproxima de .
Sabemos que . Quando se aproxima de , se aproxima de 0, então tende ao infinito. Portanto, tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, o que nos dá uma forma indeterminada . Isso significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 3

A regra de L’Hôpital nos diz que, se limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x) resulta em uma forma indeterminada ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos então derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Calculando a derivada do numerador ddx sec^2(x) = 2 sec(x) cdot sec(x) tan(x) = 2 sec^2(x) tan(x) :
Usamos a regra da cadeia e sabemos que ddx sec^2(3x) = 2 sec(3x) cdot sec(3x) tan(3x) cdot 3 = 6 sec^2(3x) tan(3x) . Portanto,
Calculando a derivada do denominador :
Aplicando a regra da cadeia novamente,

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite original:
limx pi2 2 sec^2(x) tan(x)6 sec^2(3x) tan(3x) = limx pi2 sec^2(x) tan(x)3 sec^2(3x) tan(3x)
Podemos simplificar a constante:
13 limx pi2 sec^2(x) tan(x)sec^2(3x) tan(3x)

Passo 6

Agora, analisamos cada parte do limite:
Sabemos que 3x 3pi2 e .
Quando :
  • , então
  • , então
  • também se aproxima de 0, mas precisamos calcular o valor específico.
Calculando quando :
Então:
  • , então
  • , então

Passo 7

Substituindo esses comportamentos no limite:
sec^2(x) tan(x)sec^2(3x) tan(3x) infty cdot inftyinfty cdot (-infty) = infty-infty = -1
Portanto:
13 times (-1) = -13

Resposta

O limite é igual a .

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