Use a regra de Lc)
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Para isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que é uma técnica usada para resolver limites que resultam em formas indeterminadas, como
ou
. Precisamos entender um pouco sobre funções trigonométricas e suas derivadas para aplicar essa regra corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o comportamento das funções no numerador e no denominador quando
se aproxima de
.
Sabemos que
. Quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0, então
tende ao infinito. Portanto, tanto o numerador quanto o denominador tendem ao infinito, o que nos dá uma forma indeterminada
. Isso significa que podemos aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 3
A regra de L’Hôpital nos diz que, se
resulta em uma forma indeterminada
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos então derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Calculando a derivada do numerador
:
Usamos a regra da cadeia e sabemos que
. Portanto,
Calculando a derivada do denominador
:
Aplicando a regra da cadeia novamente,
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de L’Hospital substituindo as derivadas no limite original:
Podemos simplificar a constante:
Passo 6
Agora, analisamos cada parte do limite:
Sabemos que
e
.
Quando
:
-
, então -
, então -
também se aproxima de 0, mas precisamos calcular o valor específico.
Calculando
quando
:
Então:
-
, então -
, então
Passo 7
Substituindo esses comportamentos no limite:
Portanto:
Resposta
O limite
é igual a
.