Em cada item, determine a linearização da função
próximo de um ponto adequado, e use-a para determinar uma aproximação para o valor dado. Use a calculadora para comparar o valor obtido com o valor real.
. Determine uma aproximação para
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a linearização da função
perto de um ponto que facilite, e usar essa linearização pra aproximar
. Pra resolver isso, vamos precisar saber como fazer a linearização de uma função e usar derivadas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher um ponto
próximo de
onde a tangente seja fácil de calcular. Um bom ponto é
, porque a gente sabe que
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
. A derivada de tangente é
.
Passo 4
Vamos calcular
e
:
-
-
. Sabemos que , então .
Passo 5
Agora, montamos a fórmula da linearização:
Mas, como estamos lidando com derivadas, precisamos converter os graus em radianos. Sabemos que
rad.
Então, a linearização fica:
Passo 6
Vamos aproximar
usando a linearização. Primeiro, convertemos
para radianos:
Então:
Substituindo na linearização:
Resposta
Aproximação de
usando a linearização é aproximadamente 0,965. O valor real de
é cerca de 0,9657, então nossa aproximação está bem próxima!
Exercícios relacionados
Determine as assíntotas oblíquas de:
.
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
, em
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.
Calcule os limites abaixo.
.