Em cada item, determine a linearização da função próximo de um ponto adequado, e use-a para determinar uma aproximação para o valor dado. Use a calculadora para comparar o valor obtido com o valor real.
. Determine uma aproximação para .

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar a linearização da função perto de um ponto que facilite, e usar essa linearização pra aproximar . Pra resolver isso, vamos precisar saber como fazer a linearização de uma função e usar derivadas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um ponto próximo de onde a tangente seja fácil de calcular. Um bom ponto é , porque a gente sabe que .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de . A derivada de tangente é .

Passo 4

Vamos calcular e :
  • . Sabemos que , então .

Passo 5

Agora, montamos a fórmula da linearização:
Mas, como estamos lidando com derivadas, precisamos converter os graus em radianos. Sabemos que rad.
Então, a linearização fica:

Passo 6

Vamos aproximar usando a linearização. Primeiro, convertemos para radianos:
Então:
Substituindo na linearização:

Resposta

Aproximação de usando a linearização é aproximadamente 0,965. O valor real de é cerca de 0,9657, então nossa aproximação está bem próxima!

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Determine as assíntotas oblíquas de:
.
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
, em
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.
Calcule os limites abaixo.
.