Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Polinômio de Taylor. O objetivo é encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno do ponto . Para isso, vamos precisar calcular a função e suas derivadas até a segunda ordem no ponto indicado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação polinomial de uma função suave em torno de um ponto específico. No nosso caso, como queremos de ordem 2, precisamos até a segunda derivada da função.

Passo 3

Vamos começar calculando a função no ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de :
Então, avaliando em :

Passo 5

Seguimos para a segunda derivada:
E avaliando em :

Passo 6

Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem 2 usando a fórmula:
Aqui, . Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 para em torno de é:

Exercícios relacionados

Em cada item, determine a linearização da função próximo de um ponto adequado, e use-a para determinar uma aproximação para o valor dado. Use a calculadora para comparar o valor obtido com o valor real.
. Determine uma aproximação para .
Determine as assíntotas oblíquas de:
.
Calcule os limites abaixo.
.
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
em