Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Polinômio de Taylor. O objetivo é encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função
em torno do ponto
. Para isso, vamos precisar calcular a função e suas derivadas até a segunda ordem no ponto indicado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação polinomial de uma função suave em torno de um ponto específico. No nosso caso, como queremos de ordem 2, precisamos até a segunda derivada da função.
Passo 3
Vamos começar calculando a função no ponto
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
:
Então, avaliando em
:
Passo 5
Seguimos para a segunda derivada:
E avaliando em
:
Passo 6
Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem 2 usando a fórmula:
Aqui,
. Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 2 para
em torno de
é: