Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
f(x) = e^x, x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Polinômio de Taylor. O objetivo é encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno do ponto . Para isso, vamos precisar calcular a função e suas derivadas até a segunda ordem no ponto indicado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação polinomial de uma função suave em torno de um ponto específico. No nosso caso, como queremos de ordem 2, precisamos até a segunda derivada da função.

Passo 3

Vamos começar calculando a função no ponto :

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada de :
Então, avaliando em :

Passo 5

Seguimos para a segunda derivada:
E avaliando em :

Passo 6

Com esses valores, podemos montar o polinômio de Taylor de ordem 2 usando a fórmula:
Aqui, . Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 2 para em torno de é:

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