Calcule os limites abaixo.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é calcular o limite de
. Isso envolve entender como duas funções se comportam quando
fica muito grande: a função seno, que é uma função trigonométrica, e a função logaritmo natural, que é bem comum em cálculo. A gente vai precisar saber como essas funções se comportam quando
tende ao infinito para resolver esse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
. A função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Isso significa que, independente de quão grande
fique,
nunca vai sair desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos ver a função
. O logaritmo natural cresce sem limites conforme
aumenta. Ou seja, quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito.
Passo 4
Agora, a gente junta as duas funções:
. Como
oscila entre -1 e 1, isso significa que
vai oscilar entre
e
. Como
está indo para o infinito, a expressão
vai oscilar cada vez mais entre valores negativos e positivos crescentes sem limite.
Passo 5
Como a expressão
está oscilando entre
e
, e
está crescendo sem limites, essa oscilação não se estabiliza em nenhum valor específico. Portanto, o limite não existe porque a função não se aproxima de um único valor quando
tende ao infinito.
Resposta
O limite não existe.
Exercícios relacionados
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.
Em cada item, determine a linearização da função
próximo de um ponto adequado, e use-a para determinar uma aproximação para o valor dado. Use a calculadora para comparar o valor obtido com o valor real.
. Determine uma aproximação para
.
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
em
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.