Calcule os limites abaixo.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é calcular o limite de . Isso envolve entender como duas funções se comportam quando fica muito grande: a função seno, que é uma função trigonométrica, e a função logaritmo natural, que é bem comum em cálculo. A gente vai precisar saber como essas funções se comportam quando tende ao infinito para resolver esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função . A função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Isso significa que, independente de quão grande fique, nunca vai sair desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos ver a função . O logaritmo natural cresce sem limites conforme aumenta. Ou seja, quando tende ao infinito, também tende ao infinito.

Passo 4

Agora, a gente junta as duas funções: . Como oscila entre -1 e 1, isso significa que vai oscilar entre e . Como está indo para o infinito, a expressão vai oscilar cada vez mais entre valores negativos e positivos crescentes sem limite.

Passo 5

Como a expressão está oscilando entre e , e está crescendo sem limites, essa oscilação não se estabiliza em nenhum valor específico. Portanto, o limite não existe porque a função não se aproxima de um único valor quando tende ao infinito.

Resposta

O limite não existe.

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. Determine uma aproximação para .
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em
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