Em cada item, determine o(s) valor(es) de que torna(m) o sistema: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir os valores de que fazem o sistema de equações ser possível determinado, possível indeterminado ou impossível. Estamos lidando com um sistema de equações lineares, então vamos precisar usar conceitos de determinantes e matrizes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Para descobrir se o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem a coluna dos termos independentes).
Passo 3
A matriz dos coeficientes é:
Vamos calcular o determinante de :
Simplificando cada parte:
Passo 4
Agora que temos o determinante , vamos analisar:
Sistema Possível Determinado: Quando o determinante é diferente de zero (), ou seja, .
Sistema Possível Indeterminado ou Impossível: Quando o determinante é zero (), ou seja, .
Vamos resolver :
Passo 5
Para e , o determinante , então o sistema tem uma única solução (possível determinado).
Agora, vamos analisar os casos onde e :
Quando :
Substituindo na matriz aumentada:
Fazendo operações para simplificar, veremos que o sistema tem infinidade de soluções (possível indeterminado).
Quando :
Substituindo na matriz aumentada:
Ao simplificar, perceberemos que as equações se contradizem, resultando em nenhuma solução (impossível).