Em cada item, determine o(s) valor(es) de k que torna(m) o sistema: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
(b) x+2 y+k z & =-1 k x-y+z & =2 x+y+z & =0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para descobrir os valores de que fazem o sistema de equações ser possível determinado, possível indeterminado ou impossível. Estamos lidando com um sistema de equações lineares, então vamos precisar usar conceitos de determinantes e matrizes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada:
1 & 2 & k & | & -1 k & -1 & 1 & | & 2 1 & 1 & 1 & | & 0
Para descobrir se o sistema tem uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes (a parte sem a coluna dos termos independentes).

Passo 3

A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 2 & k k & -1 & 1 1 & 1 & 1
Vamos calcular o determinante de det(A) = 1 cdot ( (-1) cdot 1 - 1 cdot 1 ) - 2 cdot ( k cdot 1 - 1 cdot 1 ) + k cdot ( k cdot 1 - (-1) cdot 1 ) :
det(A) = 1(-1 - 1) - 2(k - 1) + k(k + 1)
Simplificando cada parte:
det(A) = 1(-2) - 2k + 2 + k^2 + k
det(A) = -2 - 2k + 2 + k^2 + k
det(A) = k^2 - k

Passo 4

Agora que temos o determinante k(k - 1) = 0 , vamos analisar:
  • Sistema Possível Determinado: Quando o determinante é diferente de zero ( k = 0 ou k = 1 ), ou seja, .
  • Sistema Possível Indeterminado ou Impossível: Quando o determinante é zero ( ), ou seja, .
Vamos resolver :

Passo 5

Para 1 & 2 & 0 & | & -1 0 & -1 & 1 & | & 2 1 & 1 & 1 & | & 0 e 1 & 2 & 1 & | & -1 1 & -1 & 1 & | & 2 1 & 1 & 1 & | & 0 , o determinante , então o sistema tem uma única solução (possível determinado).
Agora, vamos analisar os casos onde e :
  • Quando :
    Substituindo na matriz aumentada:
    Fazendo operações para simplificar, veremos que o sistema tem infinidade de soluções (possível indeterminado).
  • Quando :
    Substituindo na matriz aumentada:
    Ao simplificar, perceberemos que as equações se contradizem, resultando em nenhuma solução (impossível).

Resposta

  • Para e : o sistema é possível determinado.
  • Para : o sistema é possível indeterminado.
  • Para : o sistema é impossível.

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