Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos dados:
f) vértice e foco ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola sabendo que o vértice dela é e o foco é . Vamos usar conceitos de geometria analítica sobre parábolas, especificamente a definição que relaciona vértice, foco e a direção da abertura da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão a mesma distância de um ponto fixo, o foco, e de uma reta fixa, a diretira. O vértice é o ponto médio entre o foco e a diretira.

Passo 3

Vamos identificar a direção da abertura da parábola. Observando os pontos dados, o vértice está abaixo do foco , o que indica que a parábola está abrindo para cima ou para baixo. Como o foco está acima do vértice, a parábola abre para cima.

Passo 4

A equação padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
onde é o vértice e é a distância do vértice ao foco.

Passo 5

Vamos identificar e com as coordenadas do vértice:
Substituindo na equação padrão, fica:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de . Sabemos que o foco está a uma distância acima do vértice. As coordenadas do foco são . A distância vertical entre o vértice e o foco é:

Passo 7

Com , substituímos na equação:
Simplificando:

Resposta

A equação da parábola é:

Exercícios relacionados

Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(b)
Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos dados:
c) vértice , eixo focal paralelo a Ox e é um ponto de seu gráfico;
Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(g)
Em cada item, determine o(s) valor(es) de que torna(m) o sistema: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
(b)