Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos dados:
f) vértice V(1,1) e foco F(0,2);
x^2+2 x y+y^2+4 x-12 y+4=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola sabendo que o vértice dela é e o foco é . Vamos usar conceitos de geometria analítica sobre parábolas, especificamente a definição que relaciona vértice, foco e a direção da abertura da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão a mesma distância de um ponto fixo, o foco, e de uma reta fixa, a diretira. O vértice é o ponto médio entre o foco e a diretira.

Passo 3

Vamos identificar a direção da abertura da parábola. Observando os pontos dados, o vértice está abaixo do foco , o que indica que a parábola está abrindo para cima ou para baixo. Como o foco está acima do vértice, a parábola abre para cima.

Passo 4

A equação padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
onde é o vértice e é a distância do vértice ao foco.

Passo 5

Vamos identificar h = 1 e k = 1 e (x - 1)^2 = 4p(y - 1) com as coordenadas do vértice:
Substituindo na equação padrão, fica:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de p = 2 - 1 = 1 . Sabemos que o foco está a uma distância acima do vértice. As coordenadas do foco são . A distância vertical entre o vértice e o foco é:

Passo 7

Com (x - 1)^2 = 4(1)(y - 1) , substituímos na equação:
(x - 1)^2 = 4(y - 1)
Simplificando:

Resposta

A equação da parábola é:
(x - 1)^2 = 4(y - 1)

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