Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos dados:
f) vértice e foco ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola sabendo que o vértice dela é e o foco é . Vamos usar conceitos de geometria analítica sobre parábolas, especificamente a definição que relaciona vértice, foco e a direção da abertura da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão a mesma distância de um ponto fixo, o foco, e de uma reta fixa, a diretira. O vértice é o ponto médio entre o foco e a diretira.
Passo 3
Vamos identificar a direção da abertura da parábola. Observando os pontos dados, o vértice está abaixo do foco , o que indica que a parábola está abrindo para cima ou para baixo. Como o foco está acima do vértice, a parábola abre para cima.
Passo 4
A equação padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
onde é o vértice e é a distância do vértice ao foco.
Passo 5
Vamos identificar e com as coordenadas do vértice:
Substituindo na equação padrão, fica:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de . Sabemos que o foco está a uma distância acima do vértice. As coordenadas do foco são . A distância vertical entre o vértice e o foco é: