Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
© x-y+z+w & =4 2 x-y-z & = x-2 y+w & =1 5 x+z-w & =5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as matrizes que representam o sistema, escalar a matriz aumentada, identificar quais variáveis são livres ou dependentes, classificar o sistema e, por fim, resolver ele se for possível. Para isso, vamos usar álgebra linear, especificamente matrizes e operações de escalonamento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes x - y + z + w = 4 2x - y - z = 0 x - 2y + w = 1 5x + z - w = 5 , A = 1 & -1 & 1 & 1 2 & -1 & -1 & 0 1 & -2 & 0 & 1 5 & 0 & 1 & -1 e a matriz aumentada b = 4 0 1 5 . Olhando o sistema:
[A mid b] = 1 & -1 & 1 & 1 & | & 4 2 & -1 & -1 & 0 & | & 0 1 & -2 & 0 & 1 & | & 1 5 & 0 & 1 & -1 & | & 5
A matriz é a matriz dos coeficientes das variáveis :
O vetor é o vetor dos termos constantes:
E a matriz aumentada é a junção de e :

Passo 3

Agora, vamos escalonar a matriz aumentada 2 - 2(1) = 0, -1 - 2(-1) = 1, -1 - 2(1) = -3, 0 - 2(1) = -2, 0 - 2(4) = -8 . Escalonar significa transformar a matriz em uma forma mais simples, onde podemos facilmente resolver as equações. Vamos usar operações elementares de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os 1 - 1 = 0, -2 - (-1) = -1, 0 - 1 = -1, 1 - 1 = 0, 1 - 4 = -3 das outras linhas.
  1. Linha 2: 5 - 5(1) = 0, 0 - 5(-1) = 5, 1 - 5(1) = -4, -1 - 5(1) = -6, 5 - 5(4) = -15
1 & -1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 1 & -3 & -2 & | & -8 0 & -1 & -1 & 0 & | & -3 0 & 5 & -4 & -6 & | & -15
Nova Linha 2:
  1. Linha 3:
Nova Linha 3:
  1. Linha 4:
Nova Linha 4:
Agora a matriz fica assim:

Passo 4

Continuando o escalonamento, vamos usar a segunda linha para eliminar o 0 + 0 = 0, -1 + 1 = 0, -1 + (-3) = -4, 0 + (-2) = -2, -3 + (-8) = -11 das outras linhas.
  1. Linha 3: 0 - 0 = 0, 5 - 5(1) = 0, -4 - 5(-3) = 11, -6 - 5(-2) = 4, -15 - 5(-8) = 25
1 & -1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 1 & -3 & -2 & | & -8 0 & 0 & -4 & -2 & | & -11 0 & 0 & 11 & 4 & | & 25
Nova Linha 3:
  1. Linha 4:
Nova Linha 4:
A matriz agora:

Passo 5

Vamos simplificar as últimas duas linhas para facilitar a resolução.
  1. Linha 3: Dividir por -2 para simplificar:
0 0 2 1 | 5.5
  1. Linha 4: Já está simplificada.
Agora, a matriz fica:
1 & -1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 1 & -3 & -2 & | & -8 0 & 0 & 2 & 1 & | & 5.5 0 & 0 & 11 & 4 & | & 25

Passo 6

Agora, vamos usar a terceira linha para eliminar o 11 - 112(2) = 0, 4 - 112(1) = -32, 25 - 112(5.5) = 25 - 30.25 = -5.25 da quarta linha.
Linha 4: 0 0 0 1 | 3.5
1 & -1 & 1 & 1 & | & 4 0 & 1 & -3 & -2 & | & -8 0 & 0 & 2 & 1 & | & 5.5 0 & 0 & 0 & 1 & | & 3.5
Nova Linha 4:
Simplificando a Linha 4 multiplicando por :
A matriz escalonada fica:

Passo 7

Agora, vamos identificar as variáveis livres e dependentes. Olhando a matriz escalonada:
  • Variáveis dependentes: (todas estão pivotadas)
  • Variáveis livres: Nenhuma
Isso significa que o sistema tem uma única solução.

Passo 8

Vamos resolver o sistema usando substituição a partir da última equação.
  1. Linha 4:
  2. Linha 3:
  3. Linha 2:
  4. Linha 1:

Resposta

A solução do sistema é , , e .

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