Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as matrizes que representam o sistema, escalar a matriz aumentada, identificar quais variáveis são livres ou dependentes, classificar o sistema e, por fim, resolver ele se for possível. Para isso, vamos usar álgebra linear, especificamente matrizes e operações de escalonamento.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes , e a matriz aumentada . Olhando o sistema:
A matriz é a matriz dos coeficientes das variáveis :
O vetor é o vetor dos termos constantes:
E a matriz aumentada é a junção de e :

Passo 3

Agora, vamos escalonar a matriz aumentada . Escalonar significa transformar a matriz em uma forma mais simples, onde podemos facilmente resolver as equações. Vamos usar operações elementares de linha: trocar linhas, multiplicar uma linha por um número e adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Primeiro, vamos usar a primeira linha para eliminar os das outras linhas.
  1. Linha 2:
Nova Linha 2:
  1. Linha 3:
Nova Linha 3:
  1. Linha 4:
Nova Linha 4:
Agora a matriz fica assim:

Passo 4

Continuando o escalonamento, vamos usar a segunda linha para eliminar o das outras linhas.
  1. Linha 3:
Nova Linha 3:
  1. Linha 4:
Nova Linha 4:
A matriz agora:

Passo 5

Vamos simplificar as últimas duas linhas para facilitar a resolução.
  1. Linha 3: Dividir por -2 para simplificar:
  1. Linha 4: Já está simplificada.
Agora, a matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos usar a terceira linha para eliminar o da quarta linha.
Linha 4:
Nova Linha 4:
Simplificando a Linha 4 multiplicando por :
A matriz escalonada fica:

Passo 7

Agora, vamos identificar as variáveis livres e dependentes. Olhando a matriz escalonada:
  • Variáveis dependentes: (todas estão pivotadas)
  • Variáveis livres: Nenhuma
Isso significa que o sistema tem uma única solução.

Passo 8

Vamos resolver o sistema usando substituição a partir da última equação.
  1. Linha 4:
  2. Linha 3:
  3. Linha 2:
  4. Linha 1:

Resposta

A solução do sistema é , , e .

Exercícios relacionados

Em cada alternativa a seguir, marque para verdadeiro ou para falso: Se e são matrizes simétricas, então ;
Em cada item, determine o(s) valor(es) de que torna(m) o sistema: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
(b)
Dadas as equações das parábolas:
2.2)
b) as equações da diretriz e do eixo focal;
diretiz: ; eixo focal:
Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(d)