Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado pede para realizar várias etapas, como encontrar as matrizes associadas, escalonar a matriz aumentada, identificar variáveis livres e dependentes, classificar o sistema e, finalmente, resolver se possível. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de álgebra linear, como matrizes, sistema de equações, escalonamento e classificação de sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes , e a matriz aumentada .
O sistema dado é:
Aqui, os coeficientes das variáveis formam a matriz , os termos constantes formam o vetor , e a matriz aumentada é simplesmente com anexado como uma coluna adicional.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos escalonar a matriz aumentada . Escalonar significa transformar a matriz em uma forma onde fica mais fácil resolver o sistema, utilizando operações de linha.
Começamos com a matriz:
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Fazemos isso dividindo a primeira linha por 2:
Em seguida, vamos eliminar o 1 abaixo do primeiro elemento. Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
Para simplificar, multiplicamos a segunda linha por :
Agora, vamos eliminar o acima do 1 na segunda coluna. Adicionamos vezes a segunda linha à primeira linha:
Essa é a matriz escalonada :

Passo 4

Agora, vamos determinar quais são as variáveis livres e quais são as dependentes. Nas equações escalonadas, as variáveis que não têm pivôs (não têm um 1 no começo de alguma linha) são chamadas de variáveis livres, pois podem assumir qualquer valor. As variáveis com pivôs são dependentes, pois seus valores dependem das livres.
Observando a matriz escalonada:
As primeiras duas colunas correspondem às variáveis e e têm pivôs. As colunas correspondentes a e não têm pivôs, então e são variáveis livres.

Passo 5

Vamos classificar o sistema agora. Um sistema pode ser classificado como:
  • Consistente e independente: tem exatamente uma solução.
  • Consistente e dependente: tem infinitas soluções.
  • Inconsistente: não tem solução.
No nosso caso, o sistema tem duas equações e quatro variáveis, o que geralmente sugere infinitas soluções, pois temos mais variáveis do que equações e, portanto, variáveis livres. Portanto, classificamos o sistema como Consistente e dependente.

Passo 6

Finalmente, vamos resolver o sistema. Como temos variáveis livres, vamos expressar as variáveis dependentes ( e ) em termos das livres ( e ).
A partir da matriz escalonada:
Podemos isolar e :
Portanto, a solução geral do sistema é:
Onde e são quaisquer números reais.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, onde:

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Em cada um dos seguintes itens, determine uma equação da parábola a partir dos elementos dados:
f) vértice e foco ;
Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes , e , (ii) escalone a matriz , (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(b)
Em cada item, determine o(s) valor(es) de que torna(m) o sistema: possível determinado, possível indeterminado ou impossível.
(b)
Em cada alternativa a seguir, marque para verdadeiro ou para falso: Se e são matrizes simétricas, então ;