Para cada um dos sistemas lineares abaixo, (i) encontre as matrizes A, b e [A mid b], (ii) escalone a matriz [A mid b], (iii) determine as variáveis livres e as variáveis dependentes, (iv) classifique e (v) resolva o sistema (quando houver solução).
(g) r2 x-y+3 z-w=2 x-3 y-2 z+2 w=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares juntos! O enunciado pede para realizar várias etapas, como encontrar as matrizes associadas, escalonar a matriz aumentada, identificar variáveis livres e dependentes, classificar o sistema e, finalmente, resolver se possível. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de álgebra linear, como matrizes, sistema de equações, escalonamento e classificação de sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as matrizes 2x - y + 3z - w = 2 x - 3y - 2z + 2w = 4 , A = 2 & -1 & 3 & -1 1 & -3 & -2 & 2 e a matriz aumentada b = 2 4 .
O sistema dado é:
[A mid b] = 2 & -1 & 3 & -1 & | & 2 1 & -3 & -2 & 2 & | & 4
Aqui, os coeficientes das variáveis formam a matriz , os termos constantes formam o vetor , e a matriz aumentada é simplesmente com anexado como uma coluna adicional.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos escalonar a matriz aumentada 2 & -1 & 3 & -1 & | & 2 1 & -3 & -2 & 2 & | & 4 . Escalonar significa transformar a matriz em uma forma onde fica mais fácil resolver o sistema, utilizando operações de linha.
Começamos com a matriz:
1 & -12 & 32 & -12 & | & 1 1 & -3 & -2 & 2 & | & 4
Primeiro, vamos tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1. Fazemos isso dividindo a primeira linha por 2:
1 & -12 & 32 & -12 & | & 1 0 & -52 & -72 & 52 & | & 3
Em seguida, vamos eliminar o 1 abaixo do primeiro elemento. Subtraímos a primeira linha da segunda linha:
1 & -12 & 32 & -12 & | & 1 0 & 1 & 75 & -1 & | & -65
Para simplificar, multiplicamos a segunda linha por 1 & 0 & 2 & -1 & | & 25 0 & 1 & 75 & -1 & | & -65 :
1 & 0 & 2 & -1 & | & 25 0 & 1 & 75 & -1 & | & -65
Agora, vamos eliminar o acima do 1 na segunda coluna. Adicionamos vezes a segunda linha à primeira linha:
Essa é a matriz escalonada :

Passo 4

Agora, vamos determinar quais são as variáveis livres e quais são as dependentes. Nas equações escalonadas, as variáveis que não têm pivôs (não têm um 1 no começo de alguma linha) são chamadas de variáveis livres, pois podem assumir qualquer valor. As variáveis com pivôs são dependentes, pois seus valores dependem das livres.
Observando a matriz escalonada:
1 & 0 & 2 & -1 & | & 25 0 & 1 & 75 & -1 & | & -65
As primeiras duas colunas correspondem às variáveis e e têm pivôs. As colunas correspondentes a e não têm pivôs, então e são variáveis livres.

Passo 5

Vamos classificar o sistema agora. Um sistema pode ser classificado como:
  • Consistente e independente: tem exatamente uma solução.
  • Consistente e dependente: tem infinitas soluções.
  • Inconsistente: não tem solução.
No nosso caso, o sistema tem duas equações e quatro variáveis, o que geralmente sugere infinitas soluções, pois temos mais variáveis do que equações e, portanto, variáveis livres. Portanto, classificamos o sistema como Consistente e dependente.

Passo 6

Finalmente, vamos resolver o sistema. Como temos variáveis livres, vamos expressar as variáveis dependentes ( x + 2z - w = 25 y + 75z - w = -65 e x = 25 - 2z + w ) em termos das livres ( y = -65 - 75z + w e x = 25 - 2z + w y = -65 - 75z + w z = z w = w ).
A partir da matriz escalonada:
Podemos isolar e :
Portanto, a solução geral do sistema é:
Onde e são quaisquer números reais.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, onde:
x = 25 - 2z + w y = -65 - 75z + w z = z w = w

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