Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o valor da soma daquelas que convergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa descobrir o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica e a fórmula da soma para esse tipo de série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral , onde:
é o primeiro termo da série.
é a razão da série, ou seja, o fator pelo qual multiplicamos para chegar do termo atual ao próximo.
No nosso caso, comparando com a forma geral:
(porque quando , temos ).
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a série converge ou diverge. Para uma série geométrica, isso depende do valor absoluto da razão :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Vamos calcular o valor absoluto da razão:
Como 34 < 1, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos encontrar o valor da soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica: