Para cada item determine se a série converge ou diverge. Determine o valor da soma daquelas que convergem. sumn=1^infty(-34)^n-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série sumn=1^infty(-34)^n-1 converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também precisa descobrir o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica e a fórmula da soma para esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral sumn=1^infty ar^n-1, onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão da série, ou seja, o fator pelo qual multiplicamos para chegar do termo atual ao próximo.
No nosso caso, comparando com a forma geral:
  • a = 1 (porque quando n=1, temos (-34)^0 = 1).
  • r = -34.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a série converge ou diverge. Para uma série geométrica, isso depende do valor absoluto da razão r:
  • Se |r| < 1, a série converge.
  • Se |r| >= 1, a série diverge.
Vamos calcular o valor absoluto da razão:
|r| = | -34 | = 34
Como 34 < 1, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos encontrar o valor da soma usando a fórmula da soma de uma série geométrica:
S = a1 - r
Substituindo os valores que encontramos:
S = 11 - (-34) = 11 + 34 = 174 = 47

Resposta

A série converge e a soma dela é 47.

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