Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos se a série
converge ou diverge. Se convergir, também precisamos calcular sua soma. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como determinar sua convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Podemos reescrever isso como
. Agora, a série fica na forma
, onde
. Essa é uma série geométrica, que tem uma razão comum
.
Passo 3
Para saber se essa série geométrica converge, precisamos analisar o valor da razão
. Uma série geométrica
converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja,
. Caso contrário, ela diverge.
Passo 4
Vamos calcular o valor de
para ver se
:
- Calculando
: aproximadamente . - Calculando
: aproximamos .
Portanto,
.
Passo 5
Como
é maior que 1, temos que
. Segundo a regra das séries geométricas, se
, a série diverge.
Resposta
A série
diverge porque a razão comum
é maior que 1.