Quais séries nos exercícios 23-40 convergem e quais divergem? Justifique as suas respostas. Se uma série convergir, calcule sua soma.
sumn=0^infty e^n pipi^n e

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos se a série converge ou diverge. Se convergir, também precisamos calcular sua soma. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como determinar sua convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: . Podemos reescrever isso como . Agora, a série fica na forma , onde . Essa é uma série geométrica, que tem uma razão comum .

Passo 3

Para saber se essa série geométrica converge, precisamos analisar o valor da razão . Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Caso contrário, ela diverge.

Passo 4

Vamos calcular o valor de para ver se :
  • Calculando : aproximadamente .
  • Calculando : aproximamos .
Portanto, .

Passo 5

Como é maior que 1, temos que . Segundo a regra das séries geométricas, se , a série diverge.

Resposta

A série diverge porque a razão comum é maior que 1.

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