Calcule as integrais de superfície
g)
onde
é parte do cilindro
entre os planos
e
.
g)
Passo 1
Vamos calcular a integral de superfície
, onde
é parte do cilindro
entre os planos
e
. Aqui, estamos lidando com integrais de superfície, que fazem parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o cilindro e determinar os limites de integração adequados.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cilindro
. Podemos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Aqui,
varia de
a
para cobrir toda a circunferência do cilindro.
Passo 3
O próximo passo é determinar os limites para
. O cilindro está entre os planos
e
. Substituindo
, temos:
Então,
varia de
a
para cada
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o elemento de área da superfície
. Para um cilindro, o elemento de área em coordenadas cilíndricas é dado por:
onde
é o raio do cilindro. Aqui,
, então:
Passo 5
Substituindo
pelo raio do cilindro, que é
, a integral fica:
Portanto, a integral a ser calculada é:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Multiplicando por
, temos:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos resolver cada termo separadamente:
Resposta
Somando todos os termos, temos:
Portanto, a integral de superfície é
.