Calcule as integrais de superfície
g) integral duplaS z raizx^2+y^2 d S onde S é parte do cilindro x^2+y^2=4 entre os planos z=0 e z=x+3.

Passo 1

Vamos calcular a integral de superfície integral duplaS z raizx^2+y^2 , dS, onde S é parte do cilindro x^2+y^2=4 entre os planos z=0 e z=x+3. Aqui, estamos lidando com integrais de superfície, que fazem parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o cilindro e determinar os limites de integração adequados.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cilindro x^2+y^2=4. Podemos usar coordenadas cilíndricas, onde:
x = 2costheta, y = 2sintheta, z = z
Aqui, theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência do cilindro.

Passo 3

O próximo passo é determinar os limites para z. O cilindro está entre os planos z=0 e z=x+3. Substituindo x = 2costheta, temos:
0 <= z <= 2costheta + 3
Então, z varia de 0 a 2costheta + 3 para cada theta.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o elemento de área da superfície dS. Para um cilindro, o elemento de área em coordenadas cilíndricas é dado por:
dS = R , dtheta , dz
onde R é o raio do cilindro. Aqui, R = 2, então:
dS = 2 , dtheta , dz

Passo 5

Substituindo raizx^2+y^2 pelo raio do cilindro, que é 2, a integral fica:
integral duplaS z cdot 2 cdot dS = integral duplaS z cdot 2 cdot 2 , dtheta , dz = 4 integral duplaS z , dtheta , dz
Portanto, a integral a ser calculada é:
4 integral0^2pi integral0^2costheta + 3 z , dz , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a z:
integral0^2costheta + 3 z , dz = [ z^22 ]0^2costheta + 3 = (2costheta + 3)^22
Multiplicando por 4, temos:
4 cdot (2costheta + 3)^22 = 2(4cos^2theta + 12costheta + 9) = 8cos^2theta + 24costheta + 18

Passo 7

Agora, a integral fica:
integral0^2pi (8cos^2theta + 24costheta + 18) dtheta
Vamos resolver cada termo separadamente:
integral0^2pi 8cos^2theta , dtheta = 8 cdot pi (pois integral0^2pi cos^2theta , dtheta = pi)
integral0^2pi 24costheta , dtheta = 0 (pois a integral de costheta sobre um ciclo comp<=to é zero) é
integral0^2pi 18 , dtheta = 36pi

Resposta

Somando todos os termos, temos:
8pi + 0 + 36pi = 44pi
Portanto, a integral de superfície é boxed44pi.

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