Em cada item, determine o valor de k para que o conjunto A seja LI
(2,-3,2 k),(1,0, k+4),(-1,3, m-2)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores A = (2,-3,2k), (1,0,k+4), (-1,3,m-2) e precisamos encontrar o valor de k para que esse conjunto seja linearmente independente (LI).
Conteúdo da matéria: Linearmente Independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
O que vamos precisar: Para verificar a independência linear, vamos usar o conceito de determinante. Se o determinante da matriz formada pelos vetores for diferente de zero, os vetores são LI.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz M com os vetores do conjunto A como colunas:
M = 2 & 1 & -1 -3 & 0 & 3 2k & k+4 & m-2
Para que os vetores sejam LI, o determinante dessa matriz deve ser diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de M. O determinante de uma matriz 3 times 3 é dado por:
det(M) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
M = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso na nossa matriz:
det(M) = 2(0 cdot (m-2) - 3 cdot (k+4)) - 1(-3 cdot (m-2) - 3 cdot 2k) + (-1)(-3 cdot (k+4) - 0 cdot 2k)

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
2(0 cdot (m-2) - 3 cdot (k+4)) = 2(0 - 3k - 12) = 2(-3k -12) = -6k - 24
  1. Segundo termo:
-1(-3 cdot (m-2) - 3 cdot 2k) = -1(-3m +6 -6k) = 3m -6 +6k
  1. Terceiro termo:
(-1)(-3 cdot (k+4) - 0 cdot 2k) = (-1)(-3k -12) = 3k +12

Passo 5

Agora, somamos todos os termos:
-6k -24 + 3m -6 +6k +3k +12
Simplificando:
(-6k +6k +3k) + (-24 -6 +12) +3m = 3k -18 +3m
Então, o determinante é:
det(M) = 3k +3m -18

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
3k +3m -18 neq 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
k + m -6 neq 0 implies k + m neq 6

Resposta

Para que o conjunto A seja linearmente independente, o valor de k deve satisfazer a condição k + m neq 6.

Exercícios relacionados