Em cada item, determine o valor de para que o conjunto seja LI
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores e precisamos encontrar o valor de para que esse conjunto seja linearmente independente (LI).
Conteúdo da matéria: Linearmente Independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
O que vamos precisar: Para verificar a independência linear, vamos usar o conceito de determinante. Se o determinante da matriz formada pelos vetores for diferente de zero, os vetores são LI.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores do conjunto como colunas:
Para que os vetores sejam LI, o determinante dessa matriz deve ser diferente de zero.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de . O determinante de uma matriz é dado por:
Onde:
Aplicando isso na nossa matriz:
Passo 4
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Terceiro termo:
Passo 5
Agora, somamos todos os termos:
Simplificando:
Então, o determinante é:
Passo 6
Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:
Resposta
Para que o conjunto seja linearmente independente, o valor de deve satisfazer a condição .