Em cada item, determine o valor de para que o conjunto seja LI

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores e precisamos encontrar o valor de para que esse conjunto seja linearmente independente (LI).
Conteúdo da matéria: Linearmente Independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
O que vamos precisar: Para verificar a independência linear, vamos usar o conceito de determinante. Se o determinante da matriz formada pelos vetores for diferente de zero, os vetores são LI.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores do conjunto como colunas:
Para que os vetores sejam LI, o determinante dessa matriz deve ser diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de . O determinante de uma matriz é dado por:
Onde:
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 4

Vamos simplificar cada parte:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 5

Agora, somamos todos os termos:
Simplificando:
Então, o determinante é:

Passo 6

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 3:

Resposta

Para que o conjunto seja linearmente independente, o valor de deve satisfazer a condição .

Exercícios relacionados

Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são LI ou LD. Para os conjuntos LD, escreva um deles como combinação linear dos outros.
e)
Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
Sejam e . Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
b) O conjunto é LI.
a) , onde .