Verifique se os seguintes conjuntos de vetores são LI ou LD. Para os conjuntos LD, escreva um deles como combinação linear dos outros.
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto de vetores é Linearmente Independente (LI) ou Linearmente Dependente (LD). Para isso, vamos usar o conceito de combinação linear e montar uma matriz para analisar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa os vetores serem Linearmente Dependentes. Isso quer dizer que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Para verificar isso, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:

Passo 3

Agora, vamos realizar operações nas linhas dessa matriz para encontrar se existe uma relação de dependência entre os vetores. O objetivo é tentar transformar a matriz em uma forma onde possamos identificar uma linha de zeros, o que indicaria dependência.

Passo 4

Vamos começar subtraindo a primeira coluna das demais para simplificar:
  1. Subtraia a primeira coluna da segunda coluna:
  2. Subtraia a primeira coluna da terceira coluna:
  3. Subtraia a primeira coluna da quarta coluna:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 5

Vamos observar a terceira linha: . Podemos notar que a terceira coluna pode ser uma combinação das primeiras duas. Para verificar, vamos tentar expressar um dos vetores em termos dos outros.

Passo 6

Vamos tentar expressar o vetor como combinação dos outros vetores , e . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Isso resulta no sistema de equações:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  1. Da terceira equação:
  2. Substituindo na primeira equação:
  3. Substituindo na segunda equação:
  4. Então,

Passo 8

Portanto, encontramos que:
Isso mostra que o vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros vetores.

Resposta

Os vetores são Linearmente Dependentes. Podemos escrever como .

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Em cada item, classifique os seguintes subconjuntos em LI ou LD.
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Sejam e . Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
b) O conjunto é LI.