Sejam v1=(0,0,0), v2=(-1,0,2), v3=(-1,1,2), v4=(0,1,0) e v5=(1,1,1). Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
b) O conjunto v1, v2, v3, v4 é LI.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício! Primeiro, o enunciado nos pede para verificar se o conjunto de vetores é linearmente independente (LI).
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear de vetores.
O que vamos precisar:
  • Entender o que significa vetores serem linearmente independentes.
  • Saber montar e resolver um sistema de equações usando matrizes.

Passo 2

O que é linearmente independente?
Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Em outras palavras, se a única solução para a equação for , então os vetores são LI.

Passo 3

Montando as equações:
Vamos escrever a combinação linear igual a zero:
c1v1 + c2v2 + c3v3 + c4v4 = 0
Substituindo os vetores:
c1(0,0,0) + c2(-1,0,2) + c3(-1,1,2) + c4(0,1,0) = (0,0,0)
Isso resulta no sistema de equações:
- c2 - c3 = 0 c3 + c4 = 0 2c2 + 2c3 = 0

Passo 4

Escrevendo a matriz aumentada:
Vamos escrever esse sistema em forma matricial:

[
-1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 2 & 2 & 0 c2 c3 c4 = 0 0 0


]

Passo 5

Resolvendo o sistema:
Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação:
- c2 - c3 = 0 implies c2 = -c3
Da segunda equação:
c3 + c4 = 0 implies c4 = -c3
Substituindo 2(-c3) + 2c3 = 0 implies -2c3 + 2c3 = 0 implies 0 = 0 na terceira equação:
Essa última equação é sempre verdadeira e não nos dá nova informação.

Passo 6

Interpretando os resultados:
Encontramos que e . O valor de pode ser qualquer número real. Isso significa que existem infinitas soluções para as constantes além da trivial (todas zero).

Passo 7

Conclusão sobre a independência linear:
Como existe uma solução não trivial para a combinação linear igual a zero, os vetores não são linearmente independentes.

Resposta

Falsa. O conjunto não é linearmente independente.

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