Sejam e . Determine se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando-a.
b) O conjunto é LI.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte (b) do exercício! Primeiro, o enunciado nos pede para verificar se o conjunto de vetores é linearmente independente (LI).
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente o conceito de independência linear de vetores.
O que vamos precisar:
Entender o que significa vetores serem linearmente independentes.
Saber montar e resolver um sistema de equações usando matrizes.
Passo 2
O que é linearmente independente?
Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero. Em outras palavras, se a única solução para a equação for , então os vetores são LI.
Passo 3
Montando as equações:
Vamos escrever a combinação linear igual a zero:
Substituindo os vetores:
Isso resulta no sistema de equações:
Passo 4
Escrevendo a matriz aumentada:
Vamos escrever esse sistema em forma matricial:
[
]
Passo 5
Resolvendo o sistema:
Vamos resolver o sistema de equações. Da primeira equação:
Da segunda equação:
Substituindo na terceira equação:
Essa última equação é sempre verdadeira e não nos dá nova informação.
Passo 6
Interpretando os resultados:
Encontramos que e . O valor de pode ser qualquer número real. Isso significa que existem infinitas soluções para as constantes além da trivial (todas zero).
Passo 7
Conclusão sobre a independência linear:
Como existe uma solução não trivial para a combinação linear igual a zero, os vetores não são linearmente independentes.