Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação reduzida relativa ao sistema XOY, identificar o tipo de cônica representada e esboçar o gráfico da equação dada:
Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas e rotação de eixos para eliminar o termo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica:
Aqui temos:
Passo 3
Para simplificar a equação e eliminar o termo
, vamos realizar uma rotação de eixos. A fórmula para o ângulo
de rotação que elimina o termo
é:
Substituindo os valores:
Isso significa que
, então
.
Passo 4
Agora, aplicamos a rotação de
. As novas coordenadas
estão relacionadas com as antigas
por:
Como
, temos
. Substituindo na equação original:
Passo 5
Simplificando os termos, observamos que o termo
desaparece após a rotação. Após expandir e simplificar, a equação fica na forma:
Passo 6
Agora, vamos colocar a equação na forma reduzida dividindo todos os termos por 8:
Ou, de forma mais simples:
Passo 7
Analisando a equação reduzida
, reconhecemos que é a equação de uma elipse, já que ambos os termos são positivos e diferentes, indicando que os eixos têm comprimentos diferentes.
Passo 8
Para esboçar o gráfico, observamos que a elipse está centrada na origem dos novos eixos
, com:
- Semi-eixo maior:
na direção de - Semi-eixo menor:
na direção de
Lembre-se de que os eixos
e
estão rotacionados
em relação aos eixos originais
.
Resposta
A equação reduzida relativa ao sistema
é:
A cônica representada é uma elipse. O gráfico da elipse está centrado na origem, com o semi-eixo maior de comprimento
ao longo do eixo
e o semi-eixo menor de comprimento
ao longo do eixo
, estando os eixos da elipse rotacionados
em relação aos eixos coordenados originais.