Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.
2 x^2+2 y^2+4 x y+4 raiz2 x+12 raiz2 y-8=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação reduzida relativa ao sistema XOY, identificar o tipo de cônica representada e esboçar o gráfico da equação dada:
2 x^2 + 2 y^2 + 4 x y + 4 raiz2 x + 12 raiz2 y - 8 = 0
Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas e rotação de eixos para eliminar o termo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica:
A x^2 + B x y + C y^2 + D x + E y + F = 0
Aqui temos:

Passo 3

Para simplificar a equação e eliminar o termo tan(2theta) = BA - C, vamos realizar uma rotação de eixos. A fórmula para o ângulo tan(2theta) = 42 - 2 = 40 de rotação que elimina o termo é:
Substituindo os valores:
Isso significa que , então .

Passo 4

Agora, aplicamos a rotação de x = x' costheta - y' sintheta y = x' sintheta + y' costheta . As novas coordenadas 2 (x'cos45^circ - y'sin45^circ)^2 + 2 (x'sin45^circ + y'cos45^circ)^2 + 4 (x'cos45^circ - y'sin45^circ)(x'sin45^circ + y'cos45^circ) + 4raiz2 (x'cos45^circ - y'sin45^circ) + 12raiz2 (x'sin45^circ + y'cos45^circ) - 8 = 0 estão relacionadas com as antigas por:
Como , temos . Substituindo na equação original:

Passo 5

Simplificando os termos, observamos que o termo 4 x'^2 + 16 y'^2 - 8 = 0 desaparece após a rotação. Após expandir e simplificar, a equação fica na forma:

Passo 6

Agora, vamos colocar a equação na forma reduzida dividindo todos os termos por 8:
x'^22 + y'^20.5 = 1
Ou, de forma mais simples:
x'^22 + y'^20.5 = 1

Passo 7

Analisando a equação reduzida , reconhecemos que é a equação de uma elipse, já que ambos os termos são positivos e diferentes, indicando que os eixos têm comprimentos diferentes.

Passo 8

Para esboçar o gráfico, observamos que a elipse está centrada na origem dos novos eixos , com:
  • Semi-eixo maior: na direção de
  • Semi-eixo menor: na direção de
Lembre-se de que os eixos e estão rotacionados em relação aos eixos originais .

Resposta

A equação reduzida relativa ao sistema x'^22 + y'^20.5 = 1 é:
A cônica representada é uma elipse. O gráfico da elipse está centrado na origem, com o semi-eixo maior de comprimento ao longo do eixo e o semi-eixo menor de comprimento ao longo do eixo , estando os eixos da elipse rotacionados em relação aos eixos coordenados originais.

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