Determinar a equação reduzida referida ao sistema XOY e o gênero da cônica representada pela equação dada a seguir. Esboçar o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a equação reduzida relativa ao sistema XOY, identificar o tipo de cônica representada e esboçar o gráfico da equação dada:
Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre cônicas e rotação de eixos para eliminar o termo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação geral da cônica:
Aqui temos:

Passo 3

Para simplificar a equação e eliminar o termo , vamos realizar uma rotação de eixos. A fórmula para o ângulo de rotação que elimina o termo é:
Substituindo os valores:
Isso significa que , então .

Passo 4

Agora, aplicamos a rotação de . As novas coordenadas estão relacionadas com as antigas por:
Como , temos . Substituindo na equação original:

Passo 5

Simplificando os termos, observamos que o termo desaparece após a rotação. Após expandir e simplificar, a equação fica na forma:

Passo 6

Agora, vamos colocar a equação na forma reduzida dividindo todos os termos por 8:
Ou, de forma mais simples:

Passo 7

Analisando a equação reduzida , reconhecemos que é a equação de uma elipse, já que ambos os termos são positivos e diferentes, indicando que os eixos têm comprimentos diferentes.

Passo 8

Para esboçar o gráfico, observamos que a elipse está centrada na origem dos novos eixos , com:
  • Semi-eixo maior: na direção de
  • Semi-eixo menor: na direção de
Lembre-se de que os eixos e estão rotacionados em relação aos eixos originais .

Resposta

A equação reduzida relativa ao sistema é:
A cônica representada é uma elipse. O gráfico da elipse está centrado na origem, com o semi-eixo maior de comprimento ao longo do eixo e o semi-eixo menor de comprimento ao longo do eixo , estando os eixos da elipse rotacionados em relação aos eixos coordenados originais.

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e)
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