a)
, onde
.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o conjunto dos pares de números naturais, ou seja,
, e uma relação definida por
se e somente se
. O conteúdo aqui envolve Teoria das Ordens e Conjuntos Parciais Ordenados (Posets). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de ordem parcial e verificar se essa relação específica satisfaz as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de ordem parcial. Uma ordem parcial em um conjunto é uma relação que satisfaz três propriedades fundamentais:
- Reflexividade: Todo elemento está relacionado a ele mesmo. Ou seja, para todo
, temos . - Antisimetria: Se
e , então . - Transitividade: Se
e , então .
Vamos verificar se a relação definida no exercício satisfaz essas propriedades.
Passo 3
Reflexividade: Precisamos ver se todo par
está relacionado a si mesmo.
Como qualquer número é menor ou igual a si mesmo, a reflexividade é satisfeita.
Passo 4
Antisimetria: Devemos verificar se sempre que
e
, então
.
Se
, então
.
E se , então
.
E se
Juntando as duas, temos
e
, o que implica que
. Porém, nada foi dito sobre
e
. Portanto, mesmo com
, podemos ter
, o que viola a antisimetria, já que
a menos que
.
Passo 5
Transitividade: Vamos verificar se sempre que
e
, então
.
Se
, então
.
E se , então
.
E se
Logo,
, o que significa que
. Portanto, a transitividade é satisfeita.
Resposta
A relação definida em
satisfaz as propriedades de reflexividade e transitividade, mas não satisfaz a antisimetria. Portanto, não é uma ordem parcial.