a) (N times N, preccurlyeq), onde (a, b) preccurlyeq(c, d) Long<=ftrightarrow a <= c.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos o conjunto dos pares de números naturais, ou seja, N times N, e uma relação definida por (a, b) preccurlyeq (c, d) se e somente se a <= c. O conteúdo aqui envolve Teoria das Ordens e Conjuntos Parciais Ordenados (Posets). Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de ordem parcial e verificar se essa relação específica satisfaz as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de ordem parcial. Uma ordem parcial em um conjunto é uma relação que satisfaz três propriedades fundamentais:
  1. Reflexividade: Todo elemento está relacionado a ele mesmo. Ou seja, para todo (a, b), temos (a, b) preccurlyeq (a, b).
  2. Antisimetria: Se (a, b) preccurlyeq (c, d) e (c, d) preccurlyeq (a, b), então (a, b) = (c, d).
  3. Transitividade: Se (a, b) preccurlyeq (c, d) e (c, d) preccurlyeq (e, f), então (a, b) preccurlyeq (e, f).
Vamos verificar se a relação definida no exercício satisfaz essas propriedades.

Passo 3

Reflexividade: Precisamos ver se todo par (a, b) está relacionado a si mesmo.
(a, b) preccurlyeq (a, b) Long<=ftrightarrow a <= a
Como qualquer número é menor ou igual a si mesmo, a reflexividade é satisfeita.

Passo 4

Antisimetria: Devemos verificar se sempre que (a, b) preccurlyeq (c, d) e (c, d) preccurlyeq (a, b), então (a, b) = (c, d).
Se (a, b) preccurlyeq (c, d), então a <= c.
E se (c, d) preccurlyeq (a, b), então c <= a.
Juntando as duas, temos a <= c e c <= a, o que implica que a = c. Porém, nada foi dito sobre b e d. Portanto, mesmo com a = c, podemos ter b neq d, o que viola a antisimetria, já que (a, b) neq (a, d) a menos que b = d.

Passo 5

Transitividade: Vamos verificar se sempre que (a, b) preccurlyeq (c, d) e (c, d) preccurlyeq (e, f), então (a, b) preccurlyeq (e, f).
Se (a, b) preccurlyeq (c, d), então a <= c.
E se (c, d) preccurlyeq (e, f), então c <= e.
Logo, a <= e, o que significa que (a, b) preccurlyeq (e, f). Portanto, a transitividade é satisfeita.

Resposta

A relação definida em (N times N, preccurlyeq) satisfaz as propriedades de reflexividade e transitividade, mas não satisfaz a antisimetria. Portanto, não é uma ordem parcial.

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