Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz
.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar esses autovalores e, em seguida, seus respectivos autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor (
) de uma matriz
é um número que satisfaz a equação:
onde
é o autovetor correspondente, que é um vetor não nulo.
Passo 3
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz
, que é dada por:
onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
, e
representa o determinante.
Passo 4
Vamos calcular
para a matriz dada:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Passo 6
Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
Resolvendo essa equação, temos:
Portanto,
Passo 7
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada
.
Para
:
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação,
.
pode ser qualquer número, então podemos escolher
. Assim, um autovetor correspondente a
é:
Passo 8
Para
:
Isso nos dá as equações:
Da primeira equação,
.
pode ser qualquer número, então podemos escolher
. Assim, um autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
com autovetor
e
com autovetor
.
Exercícios relacionados
Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz
.
(a)
(a)
Seja
uma transformação linear. Se
é sobrejetora e
, qual o valor de
?
Seja o espaço vetorial
e
uma matriz fixa em
. Seja a aplicação
definida por
, com
. Mostre que
é linear.
Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz
.
(e)
(e)