Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar esses autovalores e, em seguida, seus respectivos autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor ( ) de uma matriz é um número que satisfaz a equação:
onde é o autovetor correspondente, que é um vetor não nulo.

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz , que é dada por:
onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.

Passo 4

Vamos calcular para a matriz dada:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:

Passo 6

Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
Resolvendo essa equação, temos:
Portanto,

Passo 7

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada .
Para :
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, . pode ser qualquer número, então podemos escolher . Assim, um autovetor correspondente a é:

Passo 8

Para :
Isso nos dá as equações:
Da primeira equação, . pode ser qualquer número, então podemos escolher . Assim, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da matriz são com autovetor e com autovetor .

Exercícios relacionados

Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(a)
Seja uma transformação linear. Se é sobrejetora e , qual o valor de ?
Seja o espaço vetorial e uma matriz fixa em . Seja a aplicação definida por , com . Mostre que é linear.
Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(e)