Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz A.
(b) A=[ll3 & 0 0 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar esses autovalores e, em seguida, seus respectivos autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Um autovalor ( A v = lambda v ) de uma matriz é um número que satisfaz a equação:
onde é o autovetor correspondente, que é um vetor não nulo.

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica da matriz det(A - lambda I) = 0 , que é dada por:
onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que , e representa o determinante.

Passo 4

Vamos calcular A = 3 & 0 0 & 2 , I = 1 & 0 0 & 1 para a matriz dada:
A - lambda I = 3 - lambda & 0 0 & 2 - lambda
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(2 - lambda) - (0)(0) = (3 - lambda)(2 - lambda)

Passo 6

Para encontrar os autovalores, igualamos o determinante a zero:
(3 - lambda)(2 - lambda) = 0
Resolvendo essa equação, temos:
3 - lambda = 0 ou 2 - lambda = 0
Portanto,
lambda1 = 3 e lambda2 = 2

Passo 7

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada (A - 3I)v = 0 implies 0 & 0 0 & -1 v1 v2 = 0 0 .
Para 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0 0 cdot v1 - v2 = 0 :
v1 = 1 0
Isso nos dá as equações:
Da segunda equação, . pode ser qualquer número, então podemos escolher . Assim, um autovetor correspondente a é:

Passo 8

Para (A - 2I)v = 0 implies 1 & 0 0 & 0 v1 v2 = 0 0 :
v1 = 0 0 cdot v1 + 0 cdot v2 = 0
Isso nos dá as equações:
v2 = 0 1
Da primeira equação, . pode ser qualquer número, então podemos escolher . Assim, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores da matriz 1 0 são 0 1 com autovetor e com autovetor .

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