Seja uma transformação linear. Se é sobrejetora e , qual o valor de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear que é sobrejetora, ou seja, todo vetor em tem uma imagem em . Além disso, sabemos que a dimensão do núcleo de é 2. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão) que relaciona essas dimensões com o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz:
Aqui, é a dimensão do núcleo de e é a dimensão da imagem de .

Passo 3

Sabemos que e que é sobrejetora. Sendo sobrejetora, a imagem de é todo o espaço , então:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:

Resposta

Portanto, o valor de é 7.

Exercícios relacionados

Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor é autovetor da matriz , isto é, verifique se para algum (autovalor) .
(b) e
Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor é autovetor da matriz , isto é, verifique se para algum (autovalor) .
(a) e
Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(a)
Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(b)