Seja T: R^n R^5 uma transformação linear. Se T é sobrejetora e dim(Nuc(T))=2, qual o valor de n ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear que é sobrejetora, ou seja, todo vetor em tem uma imagem em . Além disso, sabemos que a dimensão do núcleo de é 2. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão) que relaciona essas dimensões com o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz:
dim(Nuc(T)) + dim(Im(T)) = n
Aqui, é a dimensão do núcleo de e é a dimensão da imagem de .

Passo 3

Sabemos que dim(Im(T)) = 5 e que é sobrejetora. Sendo sobrejetora, a imagem de é todo o espaço , então:

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
dim(Nuc(T)) + dim(Im(T)) = n 2 + 5 = n

Resposta

Portanto, o valor de é 7.

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