Seja
uma transformação linear. Se
é sobrejetora e
, qual o valor de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma transformação linear
que é sobrejetora, ou seja, todo vetor em
tem uma imagem em
. Além disso, sabemos que a dimensão do núcleo de
é 2. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema da Dimensão) que relaciona essas dimensões com o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz:
Aqui,
é a dimensão do núcleo de
e
é a dimensão da imagem de
.
Passo 3
Sabemos que
e que
é sobrejetora. Sendo sobrejetora, a imagem de
é todo o espaço
, então:
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Resposta
Portanto, o valor de
é 7.