Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz A.
(a) A=[ll4 & -5 2 & -3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz 4 & -5 2 & -3 . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico e, depois, encontrar os autovetores associados a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 4 - lambda & -5 2 & -3 - lambda . Autovalores são valores escalares det(A - lambda I) = (4 - lambda)(-3 - lambda) - (-5)(2) que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade. Vamos montar essa equação:
A seguir, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 3

Vamos expandir o determinante:
(4 - lambda)(-3 - lambda) - (-5)(2) = (4)(-3) + 4(-lambda) - lambda(-3) - lambda(-lambda) + 10
Simplificando cada termo:
-12 - 4lambda + 3lambda + lambda^2 + 10 = lambda^2 - lambda - 2
Então, a equação característica é:
lambda^2 - lambda - 2 = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores lambda^2 - lambda - 2 = 0 . A equação é:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 1 pm raiz(-1)^2 - 4(1)(-2)2(1) = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Aqui, lambda1 = 1 + 32 = 2 e lambda2 = 1 - 32 = -1 , , e . Substituindo:
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, agora vamos achar os autovetores correspondentes a cada A - 2I = 4 - 2 & -5 2 & -3 - 2 = 2 & -5 2 & -5 . Para cada 2 & -5 2 & -5 x y = 0 0 , resolvemos a equação 2x - 5y = 0 , onde 2x - 5y = 0 é o autovetor.
Primeiro, para 2x = 5y Rightarrow x = 52y :
x = 52 times 2 = 5
Vamos resolver v1 = 5 2 :
Isso nos dá as equações:
Essas são a mesma equação, então podemos expressar em termos de :
Podemos escolher para facilitar, então:
Portanto, um autovetor para é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o autovetor para A - (-1)I = A + I = 4 + 1 & -5 2 & -3 + 1 = 5 & -5 2 & -2 :
5 & -5 2 & -2 x y = 0 0
Resolvendo 5x - 5y = 0 :
2x - 2y = 0
Isso nos dá as equações:
5x = 5y Rightarrow x = y
x = 1
Novamente, são a mesma equação:
v2 = 1 1
Podemos escolher , então:
Portanto, um autovetor para é:

Resposta

Os autovalores da matriz 5 2 são 1 1 com autovetor e com autovetor .

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