Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico e, depois, encontrar os autovetores associados a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são valores escalares que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade. Vamos montar essa equação:
A seguir, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 3
Vamos expandir o determinante:
Simplificando cada termo:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores . A equação é:
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, agora vamos achar os autovetores correspondentes a cada . Para cada , resolvemos a equação , onde é o autovetor.
Primeiro, para :
Vamos resolver :
Isso nos dá as equações:
Essas são a mesma equação, então podemos expressar em termos de :
Podemos escolher para facilitar, então:
Portanto, um autovetor para é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o autovetor para :
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
Novamente, são a mesma equação:
Podemos escolher , então:
Portanto, um autovetor para é:
Resposta
Os autovalores da matriz são com autovetor e com autovetor .