Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico e, depois, encontrar os autovetores associados a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de . Autovalores são valores escalares que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade. Vamos montar essa equação:
A seguir, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 3

Vamos expandir o determinante:
Simplificando cada termo:
Então, a equação característica é:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores . A equação é:
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:
Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Com os autovalores encontrados, agora vamos achar os autovetores correspondentes a cada . Para cada , resolvemos a equação , onde é o autovetor.
Primeiro, para :
Vamos resolver :
Isso nos dá as equações:
Essas são a mesma equação, então podemos expressar em termos de :
Podemos escolher para facilitar, então:
Portanto, um autovetor para é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o autovetor para :
Resolvendo :
Isso nos dá as equações:
Novamente, são a mesma equação:
Podemos escolher , então:
Portanto, um autovetor para é:

Resposta

Os autovalores da matriz são com autovetor e com autovetor .

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Seja uma transformação linear. Se é sobrejetora e , qual o valor de ?
Utilizando a definição, em cada caso verifique diretamente se o vetor é autovetor da matriz , isto é, verifique se para algum (autovalor) .
(b) e
Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz .
(b)
Seja o espaço vetorial e uma matriz fixa em . Seja a aplicação definida por , com . Mostre que é linear.