Em cada item, encontre os autovalores e autovetores da matriz
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os autovalores e autovetores da matriz
. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente no estudo de autovalores e autovetores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar os autovalores resolvendo o polinômio característico e, depois, encontrar os autovetores associados a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de
. Autovalores são valores escalares
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz identidade. Vamos montar essa equação:
A seguir, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 3
Vamos expandir o determinante:
Simplificando cada termo:
Então, a equação característica é:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os autovalores
. A equação é:
Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Com os autovalores encontrados, agora vamos achar os autovetores correspondentes a cada
. Para cada
, resolvemos a equação
, onde
é o autovetor.
Primeiro, para
:
Vamos resolver
:
Isso nos dá as equações:
Essas são a mesma equação, então podemos expressar
em termos de
:
Podemos escolher
para facilitar, então:
Portanto, um autovetor para
é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o autovetor para
:
Resolvendo
:
Isso nos dá as equações:
Novamente, são a mesma equação:
Podemos escolher
, então:
Portanto, um autovetor para
é:
Resposta
Os autovalores da matriz
são
com autovetor
e
com autovetor
.