Seja o espaço vetorial V=Mn times n e B uma matriz fixa em V. Seja a aplicação T: V V definida por T(A)=A B+B A, com A in V. Mostre que T é linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre espaços vetoriais, mais especificamente sobre matrizes quadradas de ordem . A gente tem uma aplicação que recebe uma matriz e retorna , onde é uma matriz fixa. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa aplicação é linear. Para isso, precisamos entender o que é uma aplicação linear e verificar se satisfaz as duas propriedades fundamentais da linearidade: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma aplicação linear. Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
  1. Aditividade:
  2. Homogeneidade:
No nosso caso, é o espaço das matrizes e . Vamos verificar essas duas propriedades para .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer T(A + C) = (A + C)B + B(A + C) e = AB + CB + BA + BC em T(A) + T(C) = (AB + BA) + (CB + BC) = AB + BA + CB + BC .
T(A + C) = T(A) + T(C)
Distribuindo :
Agora, observamos que:
Comparando os dois resultados:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar uma matriz T(kA) = (kA)B + B(kA) e um escalar = k(AB) + k(BA) = k(AB + BA) = k T(A) .
T(kA) = k T(A)
Fatorando o escalar :
Então, temos:
Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que a aplicação é linear.

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