Seja o espaço vetorial e uma matriz fixa em . Seja a aplicação definida por , com . Mostre que é linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre espaços vetoriais, mais especificamente sobre matrizes quadradas de ordem . A gente tem uma aplicação que recebe uma matriz e retorna , onde é uma matriz fixa. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa aplicação é linear. Para isso, precisamos entender o que é uma aplicação linear e verificar se satisfaz as duas propriedades fundamentais da linearidade: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma aplicação linear. Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores em e qualquer escalar , as seguintes condições forem verdadeiras:
Aditividade:
Homogeneidade:
No nosso caso, é o espaço das matrizes e . Vamos verificar essas duas propriedades para .
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer e em .
Distribuindo :
Agora, observamos que:
Comparando os dois resultados:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar uma matriz e um escalar .
Fatorando o escalar :
Então, temos:
Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que a aplicação é linear.