Seja o espaço vetorial
e
uma matriz fixa em
. Seja a aplicação
definida por
, com
. Mostre que
é linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre espaços vetoriais, mais especificamente sobre matrizes quadradas de ordem
. A gente tem uma aplicação
que recebe uma matriz
e retorna
, onde
é uma matriz fixa. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa aplicação
é linear. Para isso, precisamos entender o que é uma aplicação linear e verificar se
satisfaz as duas propriedades fundamentais da linearidade: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma aplicação linear. Uma aplicação
é linear se, para quaisquer vetores
em
e qualquer escalar
, as seguintes condições forem verdadeiras:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
No nosso caso,
é o espaço das matrizes
e
. Vamos verificar essas duas propriedades para
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Vamos pegar duas matrizes quaisquer
e
em
.
Distribuindo
:
Agora, observamos que:
Comparando os dois resultados:
Então, a propriedade de aditividade é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos pegar uma matriz
e um escalar
.
Fatorando o escalar
:
Então, temos:
Portanto, a propriedade de homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, concluímos que a aplicação
é linear.